Enunciado

Um jato de ar, horizontal e assimétrico, com 10 mm, de diâmetro, atinge um disco vertical de 190 mm de diâmetro. A velocidade do jato é 69 m/s na saída do bocal. Um manômetro é conectado ao centro do disco. Calcule (a) a deflexão, se o líquido do manômetro tem SG = 1,75, (b) a força exercida pelo jato sobre o disco, e c) a força sobre o disco, se for considerado que a pressão de estagnação age sobre toda a superfície frontal do disco. Esboce a configuração de linhas de corrente e a distribuição de pressão sobre a face do disco.

Passo 1

Vamos começar ilustrando o problema em questão:

Agora vamos aplicar Bernoulli entre a saída do jato (ponto 1) e o ponto de estagnação (2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse caso, como a saída do jato (ponto 1) está exposta ao ambiente, então p 1 = p a t m , sabemos também que no ponto de estagnação v 2 = 0 . E como o enunciado não mencionou nada, podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , então a equação se torna:

p a t m ρ + v 1 2 2 = p 2 ρ + 0 2 2 → p 2 = p a t m + ρ v 1 2 2

Agora podemos aplicar o equilíbrio manométrico para o manômetro da figura, então temos:

p 2 = S G ρ g Δ h + p a t m

Então, igualando as duas expressões para p 2 , temos:

p a t m + ρ v 1 2 2 = S G ρ g Δ h + p a t m

E, substituindo os valores conhecidos, temos:

101.10 3 + 1,27 69 2 2 = 1,75 999 9,81 Δ h + 101.10 3 → Δ h = 0,177   m

Passo 2

Agora para resolver a letra b), vamos aplicar a equação 4.18a de equilíbrio de momento para o sistema ilustrado no passo 1, então temos:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção x , de modo que F B x = 0 . Então a equação se torna:

R x = u 1 - ρ v 1 A 1 + u 3 ( ρ v 3 A 3 )

Nesse caso, sabemos que u 1 = v 1 = 69   m / s e que u 3 = 0 , pois não temos componente x de velocidade saindo nessa direção, então, a equação se torna:

R x = - ρ v 1 2 A 1 → R x = - ρ v 1 2 π D 1 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

R x = - 1,27 69 2 π 0,01 2 4 → R x = - 0,475   N

Essa é a força exercida pelo disco exercida sobre o jato, então a força exercida pelo jato sobre o disco tem a mesma intensidade e sentido oposto, então temos:

F x = 0,475   N

Passo 3

Agora para calcular a força sobre o disco, se for considerado que a pressão de estagnação age sobre toda a superfície frontal do disco, vamos voltar à equação da pressão de estagnação p 2 encontrada no passo 1:

p 2 = p a t m + ρ v 1 2 2

Como estamos interessados em pressão manométrica, podemos fazer p a t m = 0 , nesse caso a força exercida sobre o disco seria:

F = p 2 A = ρ v 1 2 2 π D 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

F = 1,27 69 2 2 π 0,19 2 4 → F = 85,7   N

Passo 4

Para encontrar a distribuição de pressão, vamos começar aplicando Bernoulli entre a extremidade do disco (1) e um ponto qualquer (2) a uma distância radial r do centro do disco, então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse caso, sabemos que a extremidade do disco está em contato com o ambiente, então temos p 1 = p a t m e podemos desprezar a diferença de cotas z 1 e z 2 . Agora precisamos encontrar uma função para a velocidade v 2 num ponto r qualquer, para isso vamos usar a equação da vazão, nesse caso, para um disco circular, a vazão se torna:

Q = v 2 A 2 = v 2 2 π r h

Da continuidade, sabemos que essa vazão tem que ser igual a vazão que chega saindo do jato, dada por:

Q = V j A j = V j π D j 2 4

Então, igualando as duas expressões para a vazão, temos:

v 2 2 π r h = V j π D j 2 4 → v r = V j D j 2 8 h r

Nesse caso, precisamos estimar uma altura h , vamos adotar h = D j para facilitar os cálculos, então, a equação para a velocidade se torna:

v r = V j D j 8 r

A velocidade na extremidade v 1 é dada por:

v r d = V j D j 8 r d

Passo 5

Substituindo as expressões encontradas na equação de Bernoulli do passo 4, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

p a t m ρ + V j D j 8 r d 2 2 = p r ρ + V j D j 8 r 2 2 → p r = p a t m + ρ V j 2 D j 2 128 1 r d 2 - 1 r 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

p r = 101.10 3 + 1,27 69 2 0,01 2 128 1 0,095 2 - 1 r 2

p r = 101.10 3 + 4,75.10 - 3 110,8 + 1 r 2

Plotando esse gráfico, temos:

Resposta

Δ h = 0,177   m

F x = 0,475   N

F = 85,7   N

p r = 101.10 3 + 4,75.10 - 3 110,8 + 1 r 2

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