Enunciado

O prato circular, cuja seção transversal é mostrada, tem um diâmetro externo de 0,15   m . Um jato de água o atinge concentricamente e em seguida escoa para fora ao longo da superfície do prato. A velocidade do jato é 45   m / s e o prato move-se para a esquerda a uma velocidade de 10   m / s . Determine a espessura da lâmina de água em um raio de 75   m m a partir do eixo do jato. Que força horizontal sobre o prato é requerida para manter o seu movimento?

Passo 1

Letra a)

Para calcularmos a espessura da lâmina de água, devemos saber que a área da seção transversal é a mesma, então:

A 1 = A 2

π d 2 4 = 2 π r e

Sendo:

D = D i â m e t r o   e x t e r n o = 0,15   m

d = D i â m e t r o   i n t e r n o = 0,05   m

d 2 = 8 r e

e = d 2 8 r = 0,05 2 8 ⋅ ( 0,075 ) = 4,167 x 10 - 3   m

Temos que a espessura da lâmina de água é igual a 4,167 x 10 - 3   m .

Passo 2

Letra b)

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u );
  4. Escoamento Uniforme.

Pelas considerações feitas, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = R x

Então:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

Desse modo, a força resultante se dá:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

R x = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

Onde:

u 1 = v - u ;

u 2 = - v - u cos ⁡ θ .

Então:

R x = - ρ v - u 2 A - ρ v - u 2 cos ⁡ θ A

R x = ρ v - u 2 A ( cos ⁡ θ + 1 )

Passo 4

Sendo:

v = V e l o c i d a d e   d o   j a t o = 45   m / s ;

u = V e l o c i d a d e   d o   p r a t o = 10   m / s .

A = π D 2 4 = π ⋅ 0,05 2 4 = 1,963 x 10 - 3   m 2 ;

θ = 40 ° ;

ρ = 1000   k g / m 3 .

Temos:

R x = ρ v - u 2 A ( cos ⁡ θ + 1 )

R x = 1000 ⋅ 45 - 10 2 ⋅ 1,963 x 10 - 3 ⋅ cos ⁡ 40 ° + 1

R x = - 4247,8   N

Resposta

e = 4,167 x 10 - 3   m

R x = - 4247,8   N

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