Enunciado

A água quente a uma temperatura média de 90°C flui através de uma seção de 15 m de um tubo de ferro fundido k =   52   W   m   · K cujos diâmetros interno e externo são de 4 cm e 4,6 cm, respectivamente. A superfície externa do tubo, cuja emissividade é de 0,7, é exposta ao ar frio a 10°C no porão, com um coeficiente de transferência de calor de 15   W   m 2   · K . O coeficiente de transferência de calor na superfície interna do tubo é de 120   W   m 2   · K . Tomando as paredes do porão como sendo 10°C, determine também a taxa de perda de calor da água quente. Além disso, determine a velocidade média da água no tubo se a temperatura da água cair 3°C ao passar pelo porão.

Passo 1

Então galerinha, preparados??

O que temos aqui?

Nós temos um tubo, sem isolamento, contendo água quente no seu interior e um ambiente frio externo a ele.

Então teremos apenas três resistências, bora desenhar?

Então:

R   i = 1 h i × A i

R 1 = R c i l i n d r o = ln ⁡ r 2 r 1 2 π k f e r r o L

R e x t = 1 h e x t × A e x t

A resistência externa será composta de duas “partes”, não é?

A primeira, convectiva, e a segunda, radioativa. Sendo assim, o coeficiente externo será um coeficiente combinado entre os dois:

h e x t = h c o n v ,     e + h r a d

Bora reescrever então esta última resistência??

R e x t = 1 ( h c o n v ,     e + h r a d ) × A e x t

Já sabemos como calcular as resistências, só precisamos das áreas e do coeficiente de radioatividade.

Bora lá?

Passo 2

A área interna da seção transversal é dada por:

A i = π d 1 L

A i = π ( 0,04   m ) ( 15   m ) = 1,885   m 2

Para a área externa nós levamos em consideração o diâmetro externo do tubo:

A e x t = π d 2 L

A e x t = π ( 0,046   m ) ( 15   m ) = 2,1677   m 2

Se já achamos a área agora vamos procurar o coeficiente de radiação.

Se lembram da fórmula?

h r a d = ε σ ( T s u p .   e x t 2 + T e x t 2 ) ( T s u p .   e x t + T e x t )

Tabelado nós temos a constante de Boltz:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

Sabemos que:

ε = 0,7

T e x t = 10 ° C + 273 = 283   K

Não temos informação nenhuma sobre a temperatura da superfície externa do tubo, mas podemos assumir que elas estará um pouco mais fria do que a água que está passando dentro dele, certo?

Então vamos assumir que seja 80°C:

T s u p .   e x t = 80 ° C + 273 = 353   K

Agora é só substituir galerinha!!

h r a d = 0,7 × 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 × 353 2 + 283 2 K 2 ( 353 + 283 ) K

h r a d = 5,167 W m 2 K  

Agora vamos dar sequência !!

Passo 3

Agora vamos substituir nas fórmulas e achar nossas tão queridas resistências:

R   i = 1 120 W m 2 K × 1,885   m 2 = 0,004421   K W

R e x t = 1 15 + 5,167 W m 2 K × 2,1677   m 2 = 0,02287 K W

Sabendo que r = d 2 podemos adaptar as resistências:

R 1 = ln ⁡ d 2 d 1 2 π k f e r r o L

Substituindo:

R 1 = ln ⁡ 0,046 0,04 2 π 52 W m K ( 15   m ) = 0,00002852 K W

Como estão todas em série, a resistência total é dada por:

R T = R i + R 1 + R e x t

R T = 0,004421   K W + 0,00002852 K W + 0,02287 K W

R T = 0,027319   K W

Passo 4

Agora sim nós conseguimos saber qual será a perda de calor para o ambiente.

Usamos a fórmula do calor:

Q ˙ = T i - T e x t R T

Substituindo:

Q ˙ = 90 ° C - 10 ° C 0,027319   K W

Como a variação em graus Celsius e kelvin é a mesma:

Q ˙ = 2928,364   W

Beleza! Achamos nossa primeira resposta!

Passo 5

A próxima pergunta é: Qual a velocidade média da água no tubo se a temperatura da água cair 3°C ao passar pelo porão?

Bom galera, antes de qualquer coisa, como achamos a velocidade de um fluido?

Para isso tem uma fórmula bem simples:

m ˙ = ρ A . V

A densidade da água nós sabemos porque já é tabelado:

ρ = 1000 k g m 3

E a área aqui deve ser calculada como a área da seção circular interna:

A = π r 1 2

Como r = d 2 :

A = π d 1 2 4 = π ( 0,04 ) 2 4 = 1,257 × 10 - 3   m 2

Agora nós só precisamos achar o fluxo mássico de água que atravessa o tubo.

Passo 6

Como faremos para achar o fluxo mássico??

Simples!!

Q ˙ = m ˙ c p ∆ T

Sabemos que:

Q ˙ = 2928,364   W = 2928,364 J s

c p = 4180 J k g K

∆ T = 3 ° C = 3   K

Na fórmula:

2928,364 J s = m ˙ 4180 J k g K ( 3   K )

m ˙ = 0,2335 k g s

Temos todos os dados para achar a velocidade, então é só substituir na equação do passo 5!

0,2335 k g s = 1000 k g m 3 ( 1,257 × 10 - 3   m 2 ) . V

V = 0,186 m s

Passo 7

Baseamos todos os nossos cálculos na suposição que a temperatura da superfície externa do tubo é de 80°C, então precisamos confirmar.

Para isso vamos usar a fórmula do calor levando em conta somente a resistência apresentada pela convecção interna e pelo tubo

Q ˙ = T i - T s u p , e x t R i + R 1

Substituindo:

2928,364   W = 90 - T s u p , e x t 0,004421   K W + 0,00002852 K W

T s u p , e x t = 7 6 , 971 ° C

Bem próximo do valo que assumimos, então não precisamos repetir nossos cálculos!

De boa, galerinha?!

Tranquilinha?

Resposta

Calor Perdido: 2928,364   W ;

Velocidade: 0,186 m s .

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