Enunciado

Água à temperatura de 20°C gira como um corpo rígido em relação ao eixo z em um recipiente cilíndrico giratório. Não há tensões viscosas pois a água move-se como um corpo sólido; portanto a equação de Euler é adequada. (Desprezamos as tensões viscosas causadas pelo ar agindo sobre a superfície da água.) Integre a equação de Euler para gerar uma expressão para a pressão em função de r e z em todos os pontos na água. Escreva uma equação para a forma da superfície livre (Zsuperfície em função de r).

(Sugestão: P = Patm em todos os pontos na superfície livre. O escoamento é rotacionalmente simétrico em relação ao eixo z).

Passo 1

Turubem? Então, primeira coisa que a gente vai fazer aqui é: bora catar as propriedades da água na temperatura que o tio Çengel pediu.

ρ = 998   k g / m ³

μ = 10 - 3     k g / ( m . s )

Se liga que o desenho está dizendo pra gente quem é cada componente da nossa velocidade, porque a gente vai usar ela nas substituições!!

Vamos começar pela componente r da equação de Euler:

- ρ u θ 2 r = - ∂ P ∂ r → ∂ P ∂ r = ρ w 2 r

Componente z:

- ∂ P ∂ z = ρ g → ∂ P ∂ z = - ρ g  

Agora a gente vai integrar nossa equação da componente r e vamos ter:

P = ρ w 2 r 2 2 + f ( z )

Aí você tá me perguntando assim: WTF QUE É ESSA f(z)! Calma, meu amigo, te explicar... A gente acrescentou uma função de z porque estamos partindo de uma integral PARCIAL. Olha porque eu fiz isso:

  1. Primeiro pega a equação acima e deriva em função de z
  2. A gente tem pela equação da componente em z quem é a derivada da pressão em função de z
  3. Igualamos e sejamos felizes depois com uma integração chupetinha rs

∂ P ∂ z = f ' z = - ρ g → f z = - ρ g z + C 1

Tchururu!!! Vamos agora pegar a equação que representa a função de z e jogar na nossa equação anterior, ok?

P = ρ w 2 r 2 2 - ρ g z + C 1

Passo 2

Agora fica mais tranquilo!!!!

Bem, a gente sabe que em r=0 e z=0 vamos ter P=Patm = C1

Por fim olha que lindeza:

O campo de pressão pode ser dado por P = ρ w 2 r 2 2 - ρ g z + P a t m

E para forma de superfície: Z s u p e r f = w 2 r 2 2 g

Resposta

P = ρ w 2 r 2 2 - ρ g z + P a t m

Z s u p e r f = w 2 r 2 2 g

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