Enunciado

O campo de velocidade em um campo de escoamento bidimensional, em regime permanente e não viscoso, no plano horizontal xy, é dado por V → = A x + B i ^ - A y j ^ , em que A = 1 s-1, e B = 2 m/s; x e y são medidos em metros. Mostre que as linhas de corrente para este escoamento são dadas por ( x   +   B / A ) y   =   c o n s t a n t e . Trace linhas de corrente passando pelos pontos (x,y) = (1, 1),(1, 2) e (2, 2). Determine a aceleração e a velocidade no ponto (x, y) = (1, 2) e trace seus vetores no gráfico da linha de corrente. Determine a componente da aceleração ao longo da linha de corrente neste ponto; expresse-a como um vetor. Avalie o gradiente de pressão nomesmo ponto se o fluido for ar. Que afirmação, se houver, você pode fazer sobre o valor relativo da pressão nos pontos (1, 1) e (2, 2)?

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos demonstrar que as linhas de corrente para este escoamento valem x   + B A y   =   c o n s t a n t e . Para isso, vamos usar o conceito da inclinação da linha de corrente em 2D:

d y d x = v u

Onde:

V → = u i ^ + v j ^

V → = A x + B i ^ - A y j ^

Substituindo o campo de velocidade no conceito acima, temos:

d y d x = - A y A x + B

Isolando as variáveis, temos:

d y A y = - d x A x + B

1 A ln ⁡ y = - 1 A ln ⁡ A x + B + c

1 A ln ⁡ y + ln ⁡ A x + B = c

1 A ln ⁡ A x + B y = c

Multiplicando tudo por A, temos:

ln ⁡ A x + B y = c A

Aplicando a exponencial dos dois lados:

A x + B y = e c A = C

Note que o lado direito sempre é uma constante. Dividindo tudo por A, ficamos com:

x + B A y = C o n s t

x + 2 y = c o n s t a n t e

Nos pontos pedidos:

1,1 → 1 + 2 1 = 3

1,2 → 1 + 2 2 = 6

2,2 → 2 + 2 2 = 8

Passo 2

A aceleração da partícula é dada pela equação:

a p → = ∂ V → ∂ t + u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Considerando regime permanente e escoamento em 2D, a equação simplifica para:

a p → = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Substituindo os valores d campo velocidade:

a p → = A x + B ∂ A x + B i ^ - A y j ^ ∂ x + ( - A y ) ∂ A x + B i ^ - A y j ^ ∂ y

a p → = A x + B A i ^ + - A y - A j ^

a p → = A x + B A i ^ + A 2 y j ^

No ponto (1,2):

a p → = 1 + 2 1 i ^ + 1 2 2 j ^

a p → = 3 i ^ + 2 j ^   m / s 2

Já a velocidade vale:

V → = A x + B i ^ - A y j ^

V → = 1 + 2 i ^ - ( 1 ) 2 j ^

V → = 3 i ^ - 2 j ^   m / s

Passo 3

Agora vamos traçar os gráficos pedidos.

Linhas de corrente nos pontos pedidos:

1,1 → 1 + 2 1 = 3 → x + 2 y = 3

1,2 → 1 + 2 2 = 6 → x + 2 y = 6

2,2 → 2 + 2 2 = 8 → x + 2 y = 8

Passo 4

A componente da aceleração que segue o movimento no instante é a tangencial, dada por:

a t = a p → ∙ e ^ t

O vetor unitário da aceleração tangencial é definido por:

e ^ t = V → V

Substituindo os valores para o ponto (1,2), temos:

e ^ t = 3 i ^ - y j ^ 3 2 + - 2 2 = 0,832 i ^ - 0,555 j ^  

Substituindo na equação:

a t = ( 3 i ^ + 2 j ^ ) ∙ ( 0,832 i ^ - 0,555 j ^   )

a t = 2,496 - 1,1 = 1,39   m / s 2

a t = 1,39   m / s 2

Vetorialmente:

a t → = a t ∙ e ^ t

a t → = 1,39 ∙ ( 0,832 i ^ - 0,555 j ^ )

a t → = 1,16 i ^ - 0,77 j ^   m / s 2

Passo 5

O gradiente de pressão pode ser encontrado pela equação de Euler através de uma linha de corrente (desconsiderando a gravidade):

∂ p ∂ y = - ρ V ∂ V ∂ y = - ρ a t

No ponto (1,2), temos:

∂ p ∂ y = - 1,23 1,39 = - 1,71 N m

Resposta

a p → = 3 i ^ + 2 j ^   m / s 2

V → = 3 i ^ - 2 j ^   m / s

a t → = 1,16 i ^ - 0,77 j ^   m / s 2

∂ p ∂ y = - 1,71 N m

Linhas de corrente nos pontos pedidos:

1,1 → 1 + 2 1 = 3 → x + 2 y = 3

1,2 → 1 + 2 2 = 6 → x + 2 y = 6

2,2 → 2 + 2 2 = 8 → x + 2 y = 8

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