Enunciado

5.74 Considere o campo de escoamento bidimensional no qual u = A x 2 e v = B x y , em que A = 1,6   m - 1 s - 1 , B = 3,3   m - 1 s - 1 e as coordenadas são medidas em ft. Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível. Determine a rotação no ponto (x,y)=(0,3;0,3). Avalie a circulação sobre a “curva” delimitada por y=0, x=0,3, y=0,3 e x=0.

Passo 1

Logo de início já tem alguma coisas que nos preocupa..... As unidade das constantes têm “metro” e as coordenadas são medidades em “ft”..... Acho que o enunciado não foi muito bem traduzido, pois vai dar problema na análise dimensional...... Mas vamos lá

Vamos começar pela equação da continuidade:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, ρ é cosntante, então podemos tirar o ρ de dentro da derivada e ∂ ρ ∂ t = 0 .

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é bidimensional no plano xy, então:

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ A x 2 ∂ x + ∂ B x y ∂ y = 0

2 A x + B y = 0

Substituindo = A x 2 e v = B x y :

2 1,6 x + 3,3 y = 0

Não satisfaz a equação, então não conseguimos mostrar que é um possível flúdio incompresspivel.

Maaaaaasssssss, nessa mesma questão da versão em inglês dá certo, porém as unidade são todas em “ft” e o sinal da constante B é negativo.

Se a gente fizer B = - 3.3 , podemos forçar um pouco(muio) a barra e falar que o fluido incompressível e seguir com a questão.

Passo 2

Da definição de rotação:

ω → = 1 2 ∇ × V →

Como:

∇ = i ^ ∂ / ∂ x + j ^ ∂ / ∂ y + k ^ ∂ / ∂ z

E V → = 2 A x 2 i ^ + B x y j ^ ,

ω → = 1 2 i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 A x 2 B x y 0

ω → = 1 2 B y k ^

Com B = - 3 ,

ω → = 1 2 ( - 3,3 ) y k ^

ω → = - 1,75 y k ^

No ponsto x , y = 0,3 ; 0,3 :

ω → = - 1,75 0,3 k ^

ω → = - 0,523   k ^

Passo 3

Da definição de circulação:

Γ = ∮ V → ⋅ d S

Graças ao bom deus podemos representar essa integral por: (por serem retas na vertical e na horizontal e bla bla bla)

Γ = ∫ x a x b u   d x + ∫ y b y c v   d y + ∫ x c x d u   d x + ∫ y d y a v   d x

Como u = A x 2 e v = - B x y

Γ = ∫ a b A x 2   d x + ∫ b c - B x y   d y + ∫ c d A x 2   d x + ∫ d a + B x y   d x

Γ = A x 3 3 a b + - B x y 2 2 b c + A x 3 3 c d + B x y 2 2 d a

Como os pontos são a = 0,0 , b = 0,3 ; 0 , c = 0,3 , 0,3 e d = 0 ; 0,3 :

Γ = A 0 3 3 - A 0,3 3 3 + - B 0,3 0,3 3 2 + B 0,3   2 0 2 2

+ A 0 3 3 - A 0,3 3 3 + - B 0 0,3 3 2 + B 0 2 0 2 2

Γ = - 0,045

Γ = 0,0 45   m 2 s - 1

Resposta

ω → = - 0,523   k ^

Γ = 0,045   m 2 s - 1

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