Enunciado

An airplane, of overall length 55 ft, is designed to fly at

680 m/s at 8000-m standard altitude. A one-thirtieth-scale

model is to be tested in a pressurized helium wind tunnel at

208C. What is the appropriate tunnel pressure in atm? Even

at this (high) pressure, exact dynamic similarity is not

achieved. Why?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Obtenha as seguintes propriedades do ar em altitude padrão da 8000   m tabela A.6, "Propriedades da atmosfera padrão" no livro de texto.

Densidade do ar, ρ p = 0.5250   k g / m 3 Velocidade do som, a p = 308.1   m / s Viscosidade absoluta do ar, μ p = 1.53 × 10 - 5   k g / m ⋅ s (valor padrão)

Obtenha as seguintes propriedades do hélio da tabela A.4, "Propriedades dos gases comuns em 1   a t m e 20 ∘ C " no livro de texto.

Constante de gás característica, R = 2077   J / k g ⋅   ∘ K Velocidade do som, a m = 1005   m / s Viscosidade absoluta do hélio, μ m = 1.97 × 10 - 5   k g / m ⋅ s

Passo 2

Calcule o número de Mach do avião em altitude padrão usando a seguinte relação.

M a p = V p a p

Aqui, é a velocidade V p do projeto e a p é a velocidade sônica do avião, e o sufixo p representa o protótipo.

M a p   = 680   m / s 308.1   m / s   = 2.207

Passo 3

Calcule a velocidade de projeto do modelo a ser testado usando a seguinte relação.

M a m = V m a m

Aqui, é a velocidade V m do projeto, a m é a velocidade sônica, e o sufixo m representa o modelo.

2.207 = V m 1005   m / s V m ≈ 2219   m / s

Passo 4

Calcule o número de Reynolds na altitude padrão para o protótipo usando a seguinte relação.

R e p = ρ p V p L p μ p

Aqui, μ p é a viscosidade absoluta do ar, ρ p é a densidade do ar, L p é o comprimento total do avião, e V p é a velocidade de projeto do avião.

R e p   = 0.5250   k g / m 3 × 680   m / s × ( 55 × 0.3048   m ) 1.53 × 10 - 5   k g / m ⋅ s   = 3.91 × 10 8

Passo 5

Calcule o número de Reynolds do modelo a ser testado usando a seguinte relação.

R e m = ρ m V m L m μ m

Aqui, ρ m é a densidade do hélio, L m é o comprimento total do avião, μ m é a viscosidade absoluta do hélio, e V m é a velocidade de projeto do modelo a ser testado.

R e m   = ρ H e ( 2219   m / s ) 55 × 0.3048   m 30 1.97 × 10 - 5   k g / m ⋅ s   = ρ H e ( 2219 ) ( 0.5588 ) 1.97 × 10 - 5

Considere que o número de Reynolds para modelo e protótipo é o mesmo, R e m = R e p

3.91 × 10 8 = ρ H e ( 2219 ) ( 0.5588 ) 1.97 × 10 - 5 ρ H e = 6.212   k g / m 3

Escreva a seguinte equação de gás ideal para calcular a pressão absoluta do túnel.

p = ρ H e R T

Aqui, T é a temperatura absoluta do hélio, R é a constante de gás característica do hélio, e ρ H e é a densidade do hélio.

p   = 6.212   k g / m 3 2077   J / k g ⋅   ∘ K ( 293   K )   = 3780380.932   N / m 2   ≈ 3.78 M P a   = 3.78 M P a × ( 9.86923   a t m ) 1 M P a   = 37.3   a t m

Portanto, a pressão apropriada do túnel é 37.3   a t m . Aqui, mesmo que o número de Mach e o número de Reynolds sejam correspondidos, a verdadeira semelhança dinâmica não pode ser alcançada, pois a razão de calor específica do hélio não é igual à razão de calor específica do ( k = 1.66 ) ar ( k = 1.40 ) .

Resposta

p = 37.3   a t m

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