Enunciado

Aletas planas triangulares e parabólicas estão submetidas às mesmas condições térmicas que a aleta plana retangular do Problema 3.134.

  1. Determine o comprimento de uma aleta triangular, de largura unitária, e espessura da base t = 3 mm, que fornecerá a mesma taxa de transferência de calor que a aleta plana retangular. Determine a razão entre as massas da aleta triangular e da aleta retangular.
  2. Repita a parte (a) para a aleta parabólica.

Passo 1

Vamos seguir galerinhaaa !!

Preparados ??

Vamos dar uma olhada mais de perto nas expressões para cada uma delas:

Nós precisamos achar o comprimento de uma aleta triangular que fornecerá a mesma taxa de transferência de calor que a aleta plana retangular e determina a razão entre as massas da aleta triangular e da aleta retangular.

Vamos começar pela aleta retangular, ok? A eficiência pode ser calculada como:

η R = tanh ⁡ m L C m L C

Se:

L C = L + t 2

m = h P k A p = h 2 L + 2 t k t L

Como L ≫ t :

m = h 2 L k t L = 2 h k t

Sabendo do problema anterior que:

k   =   185 W m K

h   =   50 W m 2 K

t = 3   m m = 0,003   m

L = 15   m m = 0,015   m

T b = 100 ° C

T ∞ = 20 ° C

Então:

m = 2 50 W m 2 K   185 W m K 0,003   m = 13,4   m - 1

L C = 0,015   m + 0,003   m 2 = 0,0165   m

Na fórmula:

η R = tanh ⁡ ( 13,4   m - 1 × 0,0165   m ) ( 13,4   m - 1 × 0,0165   m ) = 0,982

O calor pode ser calculado em função da eficiência:

q ' a = η a h A f θ b

Como:

A f = 2 w L C

θ b = T b - T ∞

Considerando a largura unitária:

q ' R = 2 η a h L c T b - T ∞

Substituindo:

q ' R = 2 0,982 50 W m 2 K 0,0165   m 100 - 20 K

q ' R = 129,6 W m

Achamos a transferência de calor da aleta retangular, ok?

Então:

q ' R = q ' T = η T h A f T b - T ∞

Passo 2

Para a aleta triangular, a eficiência pode ser calculada usando a fórmula dada:

η T = 1 m L T . I 1 2 m L T I 0 2 m L T = 1 13,4   m - 1 L T . I 1 2 13,4   m - 1 L T I 0 2 13,4   m - 1 L T

Na fórmula do Passo 1:

η T = q ' T h A f T b - T ∞

Enquanto:

A f = 2 w L T 2 + t 2 4 1 2

Igualando as duas e substituindo:

η T = 129,6 2 L T 2 + 0,003   m 2 4 1 2 50 W m 2 K 100 - 20 K = 1 13,4   m - 1 L T . I 1 2 13,4   m - 1 L T I 0 2 13,4   m - 1 L T

0,016 L T 2 + 2,25 × 10 - 6 = 1 13,4   m - 1 L T . I 1 2 13,4   m - 1 L T I 0 2 13,4   m - 1 L T

Quando nós olhamos as funções de Bessel na Tabela B.5 no Apêndice B nós podemos achar o comprimento desta aleta:

L T = 0,0166   m

Mas não acabamos né?

Queremos a razão entre as massas:

M T M R = ρ A p ,   T ρ A p ,   R = t 2 L T t L = L T 2 L

Substituindo:

M T M R = 0,0166   m 2 0,015   m = 0,553

Passo 3

E o último perfil é a aleta parabólica, pedida na letra (b)!

Sabendo que:

q ' R = q ' P = η P h A f T b - T ∞

Para este perfil de aleta nós temos que:

η P = 2 4 m L P 2 + 1 1 2

Na fórmula do Passo 1:

η P = q ' T h A f T b - T ∞

Igualando as duas:

2 4 m L P 2 + 1 1 2 = q ' T h A f T b - T ∞

Substituindo o que já temos:

2 4 13,4 L P 2 + 1 1 2 = 129,6 A f 50 W m 2 K 100 - 20 K

A f = 0,0162 718,24 L P 2 + 1 1 2

Enquanto:

A f = C 1 L P + L P 2 t ln ⁡ t L P + C 1 = C 1 L P + L P 2 0,003   m ln ⁡ 0,003   m L P + C 1

Onde:

C 1 = 1 + t L P 2 1 2 = 1 +   0,003   m L P

Então:

A f = L P 1 +   0,003   m L P + L P 2 0,003   m . ln ⁡ 0,003   m L P + 1 +   0,003   m L P

Igualando A f na equação anterior:

L P 1 +   0,003   m L P + L P 2 0,003   m . ln ⁡ 0,003   m L P + 1 +   0,003   m L P = 0,0162 718,24 L P 2 + 1 1 2

Resolvendo a equação:

L P = 0,0169   m

Mas não acabamos né?

Queremos a razão entre as massas:

M P M R = ρ A p ,   P ρ A p ,   R = t 3 L P t L = L P 3 L

Substituindo:

M P M R = 0,016 9   m 2 0,015   m = 0 , 376

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. L T = 0,0166   m     |   M T M R = 0,55 3 ;
  2. L p = 0,016 9   m     |   M P M R = 0 , 376 .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma aleta plana fabricada com a liga de alumínio 2024 k=185 W m K tem uma espessura na base de t=3m m e um comprimento de 15 mm. Sua temperatura na base é T b = 100 ° C e ela está exposta a um fluido
Durante os estágios iniciais do crescimento do nanotubo do Problema 3.109, uma pequena perturbação na gota do catalisador líquido pode causar um deslocamento fazendo com que ela fique suspensa na extr
Um dispositivo experimental para medir a condutividade térmica de materiais sólidos envolve o uso de dois bastões longos, equivalentes em todos os aspectos, exceto que um é fabricado com um material-p
Duas longas hastes de cobre de diâmetro D = 8m m são soldadas uma à outra, com a solda tendo um ponto de fusão de 250 ℃ ℃. As hastes estão no ar a 30 ℃ ℃ com um coeficiente de convecção de 10W / m 2 ⋅
Considere a fabricação de silício fotovoltaico, conforme descrito no Problema 1.37. A fina folha de silício é puxada da piscina de material fundido muito lentamente e é submetida a uma temperatura amb