Enunciado

Em alguns sistemas de amortecimento, um disco circular imperso em óleo é usado como amortecedor, como mostrado na figura. Demonstre que o torque de amortecimento é proporcional à velocidade angular de acordo com a fórmula T a m o r t e c i m e n t o = C ω , onde C = 0,5   π μ ( 1 / a + 1 / b )   R 4   .Suponha perfis de velocidade lineares de ambos os lados do disco e despreze os efeitos das bordas.

Passo 1

Vamos lá então! O que a questao ta pedindo pra a gente provar que :

T a m o r t e c i m e n t o = C ω

Sendo que:

C = 0,5   π μ ( 1 / a + 1 / b )   R 4

Para isso a gente tem que supor perfis de velocidade lineares e desprezar os efeitos de borda.

Mas como a gente prova isso?

A gente tem que calcular o torque T a m o r t e c i m e n t o e chegar nessa relação que o enunciado deu pra a gente. É como se o enunciado tivesse dado o gabarito e agora a gente tem que encontrar meios de chegar lá! Belezinha?

Então vamos as fórmulas que vamos precisar:

Primeiro o torque:

T = F × d

Onde F é a força e d é a distância, nesse caso a distância vai ser o raio r .

A força F por sua vez é expressa como:

F = τ × A

Onde τ é a tensão de cisalhamento provocada pelo óleo no disco e A é a área do disco onde essa tensão é aplicada, determinda por:

A = 2 π r

E τ é expresso como:

τ = μ × d v d y

Onde μ é a viscosidade do fuido e d v d y é o gradiente de velocidade. Maas o enunciado falou que era pra a gente considerar perfis de velocidade lineares, então podemos considerar:

d u d v = ω r a

Para a parte superior do disco. Onde ω r é a velocidade tangencial do fluido em função de r e a é a espessura do fluido.

ATENÇÃO: r é uma icógnita e não uma constante, isso quer dizer que a velocidade vai variar em diferentes pontos!

De forma similar, temos:

d u d v = ω r b

Onde b   é a espessura do fluido inferior.

Agora que temos nossas ferramentas, bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar calculando a tensão de cisalhamento superior, τ s u p .

Substituindo o gradiente de velocidade na fórmula de tensão, temos:

τ s u p = μ ω r a

Lembra que eu falei que r é uma icógnita e não uma constante? Então, para calcularmos o torque, vamos precisar integrar área.

Para isso vamos derivar a força em relação a área:

d F s u p = τ s u p   d A

Substituindo τ s u p :

d F s u p = μ ω r a d A

Agora vamos derivar o torque em relação a força:

d T = r   d F

Substituindo d F s u p :

d T s u p = r × μ ω r a d A

Sabendo que:

A = 2 π r

Então:

d A = 2 π r   d r

Substituindo:

d T s u p = μ ω r 2 a 2 π r   d r

Chegamos a uma expressão que já esta relacionando T   com ω ! Agora vamos ver onde isso vai dar!

Passo 3

Agora é integrar!!

d T s u p = μ ω r 3 a 2 π   d r

Integrando dos dois lados:

∫ 0 T s u p T s u p     = ∫ 0 R   μ ω r 3 a 2 π   d r    

Resolvendo a integral:

T s u p = μ ω R 4 2 a π  

De forma análoga, temos o torque inferior, T i n f .

T s u p = μ ω R 4 2 b π  

Agora podemos calcular T t o t a l :

T t o t a l = T s u p + T i n f

Substituindo:

T t o t a l = μ ω R 4 2 a π   + μ ω R 4 2 b π  

Organizando:

T t o t a l = μ ω R 4 2 π   1 a + 1 b

Ou:

T t o t a l = ω × 0,5   μ π   1 a + 1 b R 4

Passo 4

Vamos comparar!?

T t o t a l = ω × 0,5   μ π   1 a + 1 b R 4

Onde:

C ' = 0,5   μ π   1 a + 1 b R 4

Ficamos com:

T t o t a l = ω × C '

O enunciado diz:

T a m o r t e c i m e n t o = C ω

E:

C = 0,5   π μ ( 1 / a + 1 / b )   R 4

C = C '

T a m o r t e c i m e n t o = T t o t a l

Esta provada a relação!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland μ = b T 1 2 1 + S T Os valores de b e S que melhor ajustam essa equação são dados no Apêndice
A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland μ = b T 1 2 1 + S T Os valores de b e S que melhor ajustam esta equação são dados no Apêndice
O que é um fluido newtoniano? A água é um fluido newtoniano?
Água sob pressão de 1 atm e 20°C é comprimida isotermicamente para a pressão de 800 atm. Determine o aumento da densidade da água. Suponha que a compressibilidade isotérmica da água seja 4,80 X 10-5 a
Refrigerante saturado-134a líquido a 10°C é esfriado para 0°C a pressão constante. Usando dados de coeficiente de expansão de volume, determine a mudança na densidade do refrigerante.Primeiro de tudo