Enunciado

Um aquecedor elétrico delgado, dissipando 4000   W / m 2 , encontra-se imprensado entre duas placas, com espessura de 25 mm, cujas superfícies expostas trocam calor por convecção com um fluido a T ∞ = 20 ° C   e   h = 400   W / ( m 2 ⋅ K ) . As propriedades termofísicas do material das placas são ρ = 2500   k g / m 3   ,   c = 700   J / ( k g ⋅ K )   e   k   =   5   W / ( m ⋅ K ) .

(a) Em coordenadas T — x, esboce a distribuição de temperaturas no regime estacionário para -   L ≤   x ≤ + L . Calcule os valores das temperaturas nas superfícies, x   =   ±   L , e no plano central, x   =   0 . Identifique essa distribuição como Caso 1 e explique suas características marcantes.

(b) Considere condições nas quais haja uma perda de refrigerante e a existência de uma condição aproximadamente adiabática na superfície x =   + L . Nas coordenadas T   —   x usadas na parte (a), esboce a distribuição de temperaturas no regime estacionário correspondente e indique as temperaturas em x   =   0   e   ± L . Identifique essa distribuição como Caso 2 e explique suas características marcantes.

(c) Com o sistema operando como descrito na parte (b), a superfície x   =   - L também passa por uma perda súbita de resfriamento. Essa situação perigosa passa despercebida por 15 minutos, quando então a potência do aquecedor é desativada. Considerando a inexistência de perda de calor pelas superfícies das placas, qual é a distribuição de temperaturas nas placas após um longo período de tempo t → ∞ ? Esta distribuição é uniforme e em estado estacionário. No seu esboço, mostre essa distribuição como Caso 3 e explique suas características marcantes. Sugestão: Aplique a exigência de conservação de energia em um intervalo de tempo como base, Equação 1.11b, usando as condições inicial e final correspondendo aos Casos 2 e 3, respectivamente.

(d) Em coordenadas T   —   t , esboce o histórico da temperatura, nas posições das placas x = 0   e   ± L , ao longo do período transiente entre as distribuições dos Casos 2 e 3. Onde e quando a temperatura no sistema atinge um valor máximo?

Passo 1

Falaaaa moçadinha, show de bola?

Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”

Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.

(c) Vamos considerar o volume de controle dentro de - L ≤ x ≤ L

Calculando o fluxo de energia gerado no volume de controle

E g e n ' ' = q 0 ' ' ∆ t

E g e n ' ' = 400 × 900

= 3600000   J / m 2

Do caso 2, vamos escrever a equação de temperatura em termos de x de - L ≤ x ≤ 0

T x - 50 = 50 - 30 0.025 x

T x = 800 x + 50

Do caso 2, vamos escrever a equação da temperatura em termos de x de 0 ≤ x ≤ L

T x = 50

Passo 2

Vamos calcular o fluxo de energia inicial no volume de controle

E i ' ' = ρ c ∫ - L L T x - T ∞ d x

= ρ c ∫ - L 0 800 x + 50 - T ∞ d x + ρ c ∫ 0 L 30 - T ∞ d x

Agora iremos fazer as devidas substituições numéricas

E i ' ' = 2500 × 700 ∫ - 0.025 0 800 x + 50 - 20 d x + ∫ 0 0.025 30 - 20 d x

= 2500 × 700 800 x 2 2 + 30 x - 0.025 0 + 30 x 0 0.025

= 2500 × 700 - 0.25 + 0.75 + 0.75  

= 2187500   J / m 2

Passo 3

Vamos calcular o fluxo de energia final no volume de controle

E f ' ' = ρ c 2 L T f - T ∞

= 2500 × 700 × 2 × 0.025 T f - 20

= 87500 T f - 20

Conservando a energia dentro do volume de controle

E i ' ' + E g e n ' ' = E f ' '

2187500 + 3600000 = 87500   T f - 20

T f - 20 = 66.143

T f = 86.143 ° C

Portanto, a temperatura em estado estacionário no volume de controle é 86.143 ° C

Passo 4

Vamos traçar a distribuição de temperatura de - L ≤ x ≤ L

“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”

Resposta

Resposta nos passos.

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