Enunciado

Um aquecedor radiante, que é usado em processos de tratamento de superfícies, é constituído por um longo elemento aquecedor com formato cilíndrico e diâmetro D1 = 0,005 m, com emissividade ε1 = 0,80. O aquecedor é parcialmente envolvido por um refletor parabólico longo e delgado, cujas emissividades das superfícies interna e externa são ε2i = 0,10 e ε2e = 0,80, respectivamente. As áreas superficiais interna e externa, por unidade de comprimento do refletor, são cada uma de A ' 2 i = A ' 2 e   =   0,20   m , enquanto o coeficiente convectivo médio nas superfícies interna e externa é de h 2 i , e =   2 W m 2 K . O sistema pode ser considerado no

interior de um meio quiescente e infinito composto por ar atmosférico a T ∞ =   300   K , estando exposto a uma grande vizinhança a Tviz = 300 K.

  1. Esboce o circuito de radiação apropriado e escreva expressões para cada uma das resistências da rede.
  2. Se, sob condições de regime estacionário, potência elétrica é dissipada no aquecedor a P ' 1 =   1500   W / m e a temperatura superficial do aquecedor é T1 = 1200 K, qual é a taxa líquida na qual a energia radiante é transferida do aquecedor?
  3. Qual é a taxa líquida na qual energia radiante é transferida do aquecedor para a vizinhança?
  4. Qual é a temperatura,T2, do refletor?

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, a letra (a) nos pediu apenas para esquematizar todo o circuito elétrico, certo?

Então, dispondo todos os acontecimentos descritos no problema nós vamos obter:

Agora, a letra (b) nos pediu para a taxa líquida na qual a energia radiante é transferida do aquecedor !

Para isso nós podemos começar fazendo o balanço de energia, sabendo que a potência fornecida é transferida por convecção e radiação:

P ' 1 = q ' r a d - q c o n v , 1

Vamos procurar achar primeiro o calor convectivo:

q c o n v , 1 = h - π D 1 T 1 - T ∞

Sabemos que:

D 1 = 0,005   m

T 1 = 1200   K

T ∞ = 300   K

O coeficiente convectivo nós podemos calcular:

h - = k D 1 0,6 + 0,387 R a D 1 3 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

Lembrando que:

R a D = g β T 1 - T ∞ D 1 2 a v

Para achar as propriedades do ar nós precisamos da temperatura média:

T m = T 1 + T ∞ 2 = 1200   K + 300   K 2 = 7 50   K

Assumindo que a temperatura seja próxima a 750     K e olhando na Tabela A – 4:

v = 76,37 × 10 - 6 m 2 s

k = 0,0 549 W m K

a = 109 × 10 - 6 m 2 s

P r = 0,7 02

β = 1 7 50   K

Substituindo:

R a D = 9,81 1 7 50 12 00 - 300 0 , 00 5 2 76,37 × 10 - 6 109 × 10 - 6 = 176,6

E para o coeficiente:

h - = 0,0549 0,005 0,6 + 0,387 176,6 1 3 1 + 0,559 0,702 9 16 8 27 2

h - = 20,3 W m 2 K

No calor:

q c o n v , 1 = 20,3 π × 0,005 1200 - 300 = 287 W m

E agora ficou topzeraa !!

Vamos substituir:

1500 = q ' r a d + 287

q ' r a d = 1213 W m

E assim finalizamos a letra (b) !!

Passo 2

A letra (c) nos pede para achar a taxa líquida na qual energia radiante é transferida do aquecedor para a vizinhança, ok?

A transferência radiante é dada pela fórmula:

q ' 1 , v i z = J 1 - J v i z 1 A 1 F 1 v i z

Vamos ver o que podemos calcular:

F 1 v i z = θ 360 = 135 360 = 0,375

A 1 = π D 1 = π 0,005

J v i z = σ T v i z 4 = 5,67 × 10 - 7 3 00 4 = 459 W m 2

Só não temos J 1 ,   né?!

Para acha-lo nós vamos usar uma relação similar à anterior, mas para a radiação que entra na superfície 1:

q ' 1 = σ T 1 4 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1

Para este nós temos todos os valores e só vamos substituir:

1213 = 5,67 × 10 - 7 1200 4 - J 1 1 - 0,8 0,8 × π 0,005

J 1 = 98268 W m 2

Na equação entre a superfície 1 e a vizinhança:

q ' 1 , v i z = 98268 - 459 1 π 0,005 0,375

q ' 1 , v i z = 576 W m

Passo 3

Shoow !! Para finalizar nós vamos fazer a letra (d) !! Nela nós queremos achar a temperatura,   T 2 , do refletor, Tranquilinha?

Para acha-la nós precisamos achar a potência emissiva da superfície 2 que se relaciona com a temperatura assim:

E b 2 = σ T 2 4

Vamos começar fazendo o balanço para a superfície 2:

q ' 2 i = q ' 2 o + q 2 , c o n v

Vamos ver a fórmula para cada uma delas?

J 2 i - E b 2 1 - ε 2 i ε 2 i A 2 = E b 2 - J v i z 1 - ε 2 i ε 2 i A 2 + 1 A 2 F 2 o , v i z + 2 h 2 - A 2 T 2 - T ∞

J 2 i - σ T 2 4 1 - ε 2 i ε 2 i = σ T 2 4 - J v i z 1 - ε 2 e ε 2 e + 1 F 2 o , v i z + 2 h 2 - T 2 - T ∞

Nós já temos:

ε 2 i = 0,1

ε 2 e = 0,8

A ' 2 i = A ' 2 e   =   0,20   m

h 2 i , e =   2 W m 2 K

T ∞ = 300   K

F 2 o , v i z = 1

J v i z = 459 W m 2

Só precisamos então da radiosidade J 2 i .

Usando para isso a radiosidade no refletor:

q ' 1 , 2 i = J 1 - J 2 i 1 A 1 F 1 , 2 i

Lembrando que:

q ' 1,2 i = q ' 1 - q ' 1 , v i z

Então:

q ' 1 - q ' 1 , v i z = J 1 - J 2 i 1 A 1 F 1,2 i

Agora é só substituir:

1213 - 576 = 98,268 - J 2 i 1 π 0,005 0,375

J 2 i = 33,384 W m 2

Agora siiim!!

33,384 - 5,67 × 10 - 8 T 2 4 1 - 0,1 0,1 = 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - 459 1 - 0,8 0,8 + 1 F 2 o , v i z + 2 2 T 2 - 300

Resolvendo:

T 2 = 502   K

Cansou, não foi !? Mas acabamos !!

Resposta

  1. q ' r a d = 1213 W m
  2. q ' 1 , v i z = 576 W m
  3. T 2 = 502   K
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