Enunciado

Ar escoa adiabaticamente e em regime permanente a partir de um grande tanque através de um bocal convergente conectado a um tubo de área constante isolado termicamente. O bocal pode ser considerado sem atrito. O ar no tanque está a p = 1   M P a (abs) e T = 120 ° C . A pressão absoluta na saída do bocal (entrada do tubo) é 860 kPa (abs). Determine a pressão no final do tubo, se a temperatura nesse local for 65°C. Determine o aumento de entropia.

Passo 1

Tá legal! Como o enunciado nos disse que ar escoa adiabaticamente e em regime permanente, então temos a relação:

T 0 T = p 0 p k - 1 k

Dessa forma, a relação para o número de Mach a seguir:

T 0 T = 1 + k - 1 2 M 2

Se torna:

p 0 p k - 1 k = 1 + k - 1 2 M 2

E, isolando o número de Mach:

p 0 p k - 1 k - 1 . 2 k - 1 = M 2 → M = p 0 p k - 1 k - 1 . 2 k - 1

Então, substituindo os valores conhecidos para o ponto 1, temos:

M 1 = 1 . 10 6 860 . 10 3 1,4 - 1 1,4 - 1 . 2 1,4 - 1 → M 1 = 0,469

Passo 2

Agora, retornando à equação de Mach com a temperatura, temos:

T 0 T = 1 + k - 1 2 M 2

Substituindo os valores conhecidos para o ponto 1, temos:

120 + 273 T 1 = 1 + 1,4 - 1 2 0,469 2 → T 1 = 376,4   K

Então, nessa condição, a velocidade c no ponto 1 será:

c 1 = k R T 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

c 1 = 1,4 ( 287,05 ) ( 376,4 ) → c 1 = 388,9   m / s

Então, a velocidade em 1 será:

V 1 = M 1 c 1 = 0,469 388,9 → V 1 = 182,4   m / s

E, agora, calculando a densidade do ar nas condições de entrada, temos:

ρ 1 = p 1 R T 1 = 860 . 10 3 287,05 376,4 → ρ 1 = 7,96   k g / m 3

Agora, repetindo os cálculos para o ponto 2, temos, para o número de Mach:

120 + 273 65 + 273 = 1 + 1,4 - 1 2 M 2 2 → M 2 = 0,9

Agora, encontrando a velocidade do som no ponto 2, temos:

c 2 = k R T 2 = 1,4 ( 287,05 ) ( 65 + 273 ) → c 2 = 368,55   m / s

Então a velocidade no ponto 2 será:

V 2 = M 2 c 2 = 0,9 368,55 → V 2 = 331,7   m / s

Passo 3

Agora, da equação da continuidade, como sabemos que a massa que entra em 1 tem que sair por 2, e que, a área da seção transversal do tubo é constante, então temos:

ρ 1 V 1 A = ρ 2 V 2 A

Substituindo os valores conhecidos, temos:

7,96 182,4 = ρ 2 331,7 → ρ 2 = 4,38   k g / m 3

Dessa forma, a pressão de saída em 2 será:

p 2 = ρ 2 R T 2 = 4,38 287,05 65 + 273 → p 2 = 424,7   k P a

Passo 4

Agora, como conhecemos as condições na entrada e na saída, podemos calcular a variação de entropia, então, temos:

Δ s = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R l n   p 2 p 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Δ s = 1 005 ln ⁡ 65 + 273 376,4 - 287,05 ln ⁡ 424,7.10 3 860.10 3 → Δ s = - 108,1 + 202,5

Δ s = 94,3   J / k g . K

Resposta

p 2 = 424,7   k P a

Δ s = 94,3   J / k g . K

Ver Outros Exercícios desse livro