Enunciado

Ar escoando verticalmente para baixo atinge uma larga placa plana horizontal. O campo de velocidade é dado por =   ( a x   -   a y   ) ( 2   +   c o s   ω t ) , em que a = 5   s - 1 , ω = 2 π s - 1 , x e y (medidos em metros) são direcionados para a direita na horizontal e para cima na vertical, respectivamente, e t é dado em segundos. Obtenha uma equação algébrica para a linha de corrente em t   =   0 . Trace a linha de corrente que passa pelo ponto ( x ,   y )   =   ( 3 ,   3 ) nesse instante. A linha de corrente mudará com o tempo? Explique brevemente. Mostre, no gráfico, o vetor velocidade nesse mesmo ponto e para o mesmo instante. O vetor velocidade é tangente à linha de corrente? Explique.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede a equação das linhas de corrente, o vetor velocidade e se ele é tangente à linha de corrente. Para a primeira, sabemos que ela é dada por:

v u = d y d x = a y 2 + cos ⁡ ω t a x 2 + cos ⁡ ω t = - y x

Integrando, temos:

d y y = - d x x ln ⁡ y = - ln ⁡ x + c y = C x

Para o ponto 3,3 :

C = 3 × 3 = 9

Portanto:

y = 9 x

Podemos concluir que a equação das linhas de corrente não vão mudar com o tempo desde que d y / d x não mude com o tempo.

Passo 2

Agora, para t = 0 , temos:

u = a x 2 + cos ⁡ ω t u = 45 m s

v = - a y 2 + cos ⁡ ω t v = - 45   m / s

Então, temos que o vetor velocidade é a tangente à curva. E, no ponto ( 3,3 ) : V = d y d x = y x = - 1

Enquanto a velocidade no mesmo ponto é dada por:

v u = - 1

Resposta

y = 9 x

V = - 1

v u = - 1

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