Enunciado

Considere o campo de escoamento V → =   a y 2 i ^   +   b j ^ , em que a = 1 m - 1 s - 1 e b = 2   m / s . As coordenadas são medidas em metros. Obtenha a linha de corrente que passa pelo ponto ( 6 ,   6 ) . No instante t   =   1   s , quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto ( 1 ,   4 ) no instante t   =   0 ? Em   t   =   3   s , quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto (−3, 0)? Mostre que as trajetórias, as linhas de corrente e as linhas de emissão para este escoamento são coincidentes.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, devemos localizar as linhas de fluxo que passam no ponto ( 6,6 ) , encontrar as coordenadas de partícula começando em ( 1,4 ) e, mostrar que os traçados, linhas dinâmicas e linhas tracejadas coincidem. Para isso, utilizaremos as equações para as linhas de corrente

v u = d y d x

Passo 2

Para os caminhos, fazemos

v u = d y d x = b a y 2

Agora, separamos as variáveis e integramos

a y 2   d y = b   d x

a y 3 3 = b x + C

Então, para a linha de fluxo através do ponto ( 6,6 ) , temos

c = 60 e y 3 = 6 x + 180

Para partículas que passaram no ponto ( 1,4 ) em t = 0 ,

u p = d x d t = a y 2                 v p = d y d t = b

Agora, separamos as variáveis e integramos

d x = a y 2 d t                   d y = b d t

x - x 0 = ∫ 0 t a y 2 d t                         y = y 0 + b t

Então, substituindo:

x - x 0 = ∫ 0 t a y 0 + b t 2 d t

x = x 0 + a ( y 0 2 t + b y 0 t 2 + b 2 t 3 3 )

Consequentemente, com x 0 = 1 e y 0 = 4 , temos

x = 1 + 16 t + 8 t 2 + 4 t 3 3 )

y = 4 + 2 t

Em, t = 1   s , temos: x = 26,3   m e y = 6 m .

Passo 3

Do mesmo modo, para partículas que passaram no ponto ( - 3,0 ) em t = 1 ,

∫ d y = ∫ b d t

x - x 0 = ∫ t 0 t a y 2 d t                         y = y 0 + b t

Então, substituindo:

x - x 0 = ∫ t 0 t a y 0 + b t 2 d t

x = x 0 + a [ y 0 2 t - t 0 + b y 0 t 2 - t 0 2 + b 2 3 t 3 - t 0 3 ]

Consequentemente, com x 0 = - 3 e y 0 = 0 , temos

x = - 3 + 4 3 t 3 - 1

y = 2 ( t - 1 )

Em, t = 3   s , temos: x = 31,7   m e y = 4 m .

Logo, o fluxo é constante, portanto, caminhos, linhas de fluxo e linhas de linha sempre coincidem.

Resposta

O fluxo é constante, portanto, caminhos, linhas de fluxo e linhas de linha sempre coincidem.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Você pretende colocar cuidadosamente algumas agulhas de aço sobre a superfície livre da água em um grande tanque. As agulhas vêm em dois comprimentos: algumas com 5 cm e outras com 10 cm de compriment
A que velocidade mínima (em km/h) um automóvel teria que viajar para que os efeitos de compressibilidade fossem importantes? Considere que a temperatura local do ar atmosférico seja de 15,5°C.
Operfildevelocidadedacamada­limiteviscosa,mostradonaFig.2.15,podeseraproximadoporumaequaçãocúbica:Acondiçãolimiteéu=U(avelocidadedacorrentelivre)nabordalimiteθ(ondeoatritoviscososetornazero).Determine
A água é normalmente considerada como um fluido incompressível quando se avaliam variações na pressão estática. Na verdade, a água é 100 vezes mais compressível que o aço. Considerando que o módulo de
Qual é o número de Reynolds da água a 20°C escoando a 0,25 m/s através de tubo de diâmetro 5 mm? Se agora o tubo for aquecido, a que temperatura média da água irá ocorrer a transição do escoamento par