Enunciado

Uma atmosfera politrópica é definida pela lei de potência p p o = ρ ρ o m   , em que m é um expoente da ordem de 1,3 e p o e ρ o são valores da pressão e massa específica ao nível do mar. (a) Integre essa expressão na atmosfera estática e encontre uma distribuição ρ ( z ) . (b) Considerando um gás ideal, p = ρ R T , mostre que seu resultado em (a) implica em uma distribuição linear de temperatura, como na equação 2.19. (c) Mostre que o valor padrão B = 0,0065 K/m é equivalente a m = 1,235.

Passo 1

(a) Bem, aqui não tem muito o que fazermos a não ser seguir o que se pede a questão. Então, “lerigou” integrar essa equação e para isso vamos escrever p como uma diferencial completa dos parâmetros de interesse, beleza?

Lembrando que todos os parâmetros que possuem o subíndice “o”, indica que são valores de referência e, portanto, na integração podem sair da integral.

d p = - ρ   g   d z = - p o ρ ρ o 1 m g   d z

∫ p o p d p p 1 m = - ρ o g p o 1 m ∫ 0 z d z

p p o = 1 m - 1 g z m p o ρ o m m - 1

Passo 2

(b) Vamos considerar um gás ideal para obter uma relação entre a razão de pressão e a razão de temperatura nesse processo.

De acordo com o enunciado, temos a seguinte relação:

p p o = ρ ρ o m = p R T   x   R T o p o m

Se resolvermos essa equação para T T o = p p o m - 1 m e usarmos a razão de pressão igual a equação encontrada na letra (a), obtemos o seguinte:

T T o = 1 - m - 1 g z m R T o

Note que desta forma acabamos de obter uma reta do tibo y = b – aX, onde:

b = 1

a = m - 1 g m R T o

Passo 3

(c) Para esta letra, basta lembrarmos que:

m = g g - B R = 9,81 9,81 - 0,0065   x   287 = 1,235

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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