Enunciado

O balão da Figura P2.117 está cheio com hélio e pressurizado a 135 kPa e 20° C. O material do balão tem uma massa de 85 g/m2. Calcule (a) a tração na linha de ancoragem e (b) a altura que o balão vai subir na atmosfera padrão se a linha de ancoragem for cortada

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Pra entender a questão, veja a imagem abaixo do enunciado Aqui, temos um balão com diâmetro D = 10   m cheio de hélio a 135   k P a e   20 °   C imerso no ar também a 20 ° C e a uma pressão de 100   k P a . O material do balão tem uma massa de 82   g / m ² .

A questão quer a gente calcule a tração na linha de ancoragem que mantém o balão fixo. Pra isso, devemos fazer um balanço de forças considerando o empuxo, peso do hélio e peso do próprio balão, como na equação abaixo:

T = E - W h é l i o - W b a l ã o

Além disso, o enunciado também nos pede para calcular a altura que o balão vai atingir ao subir na atmosfera. Pra isso, vamos precisar calcular a massa específica do ar, ρ a r

Nos próximos passos, eu ou te ensinar a calcular todas essas força líquida e usá-las para encontrar a massa específica do ar! Vem comigo!

Passo 2

Neste passo, vamos resolver a letra (a).

Em primeiro lugar, vamos calcular o peso de hélio a partir da equação:

W h é l i o = ρ H e g V b a l ã o

Sendo ρ H e = P / R T a massa específica de Hélio, com R =   2 077   N . m / k g . K ; g = 9,81   m / s ² a aceleração da gravidade; e V b a l ã o = π 6 D ² o volume do balão.

Sendo assim, teremos:

W h é l i o = 135000   P a 2 077   N . m k g . K 293   K 9,81 m s 2 π 6 ( 10   m ) ³  

W h é l i o = 1139   N

Além disso, devemos calcular o peso do balão com a equação abaixo:

W b a l ã o = 0,085 k g m 2 9,81 m s 2 π 10   m ² = 262   N

E, ainda, vamos calcular o empuxo do ar:

E = ρ a r g V b a l ã o = 100 000   P a 2 8 7   N . m k g . K 293   K 9,81 m s 2 π 6 ( 10   m ) ³  

E = 6108   N

Com essas forças, podemos calcular a tração na linha de ancoragem:

T = 6108   N - 1139   N - 262   N = 4707   N

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (b).

Quando o balão é solto, o equilíbrio ocorre quando o empuxo é exatamente igual ao peso do balão somado ao peso do hélio:

E = 1139   N + 262   N = 1401   N  

Com o valor do empuxo, podemos calcular a massa específica do ar para essa situação de equilíbrio:

ρ a r = E g V b a l ã o = 1401   N 9,81 m s 2 π 6 ( 10   m ) ³   = 0,273   k g / m 3

Indo na Tabela A.6, “Propriedades da atmosfera padrão”, podemos entrar com esse valor de massa específica e fazer uma interpolação entre os valores de 0 , 2652   k g / m ³ e 0 , 287   k g / m ³.

Sendo assim, obtemos uma altura de mais ou menos 12821   m que o balão irá subir até atingir o equilíbrio.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A tração na linha de ancoragem é T = 4707   N

(b) A altura que o balão vai subir 12821   m na atmosfera

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