Enunciado

A barra uniforme da Figura P2.121, de tamanho L por h por b e com o peso específico γ b , flutua exatamente em sua diagonal quando uma esfera uniforme pesada é presa ao canto esquerdo, como mostra a figura. Mostre que isso pode acontecer somente (a) quando   γ b = γ / 3 e (b) quando a esfera tem o tamanho

D = L h b π d - 1 1 / 3

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão, nos foi dito que em uma barra uniforme de tamanho L por h por b , temos que b ≪ L ≪ h . Foi dito também que uma esfera pesada uniforme está amarrada ao canto esquerdo, e faz com que a barra flutue exatamente em sua diagonal. A barra tem peso específico γ b e o peso específico do líquido é γ .

Passo 2

(a) Queremos mostrar que está condição só é possível quando γ b = γ / 3 .

Para isso, podemos dizer que o peso da barra pode ser dado por

W   =   γ b L h b

E ele atua no seu centro de massa, a L / 2 tendo como referência o canto esquerdo. A parte da barra que está submersa forma um triângulo perfeito, ou seja, é a metade do volume da barra, assim, o fluido que é deslocada é igual a

B   = γ L h b 2

Onde o centro de empuxo irá atuar a L / 3 tendo como referência o canto esquerdo.

Passo 3

Segue comigo que estamos quase lá!!

Sabendo disso, é só a gente somar os momentos sobre o canto esquerdo (no ponto C ). Temos então que:

∑ M C = γ b L h b L 2 - γ L h b 2 L 3

A barra ficará estável e flutuando quando a soma dos momentos for nula. Assim, podemos dizer o seguinte:

0 = γ b L h b L 2 - γ L h b 2 L 3

γ b = γ 3

Com isso, provamos o que foi pedido.

Passo 4

(b) Agora, queremos mostrar só ocorrerá quando a esfera tem o tamanho

D = L h b π d - 1 1 / 3

Para isso, a gente pode começar encontrando a tensão necessária T da corda no canto esquerdo a partir da soma as forças verticais. Temos o seguinte:

∑ F z = γ b L h b - γ L h b 2 - T

Da mesma forma que fizemos na letra (a), esse somatório também tem que dar zero.

0 = γ L h b 2 - γ b L h b - T

T = L h b γ 2 - γ b

Do resultado que encontramos anteriormente, podemos dizer o seguinte:

T = L h b γ 2 - γ 3

T = γ L h b 6

Passo 5

Aqui, é importante saber que a tensão necessária também pode ser dada pela seguinte expressão:

T = W - B e s f e r a = d - 1 γ π 6 D 3

Substituindo o que encontramos no passo 4, temos o seguinte:

γ L h b 6 = d - 1 γ π 6 D 3

γ L h b = d - 1 γ π D 3

D 3 = L h b d - 1 π

D = L h b π d - 1 1 / 3

Com isso, provamos o que foi pedido.

Resposta

(a)

γ b = γ 3

(b)

D = L h b π d - 1 1 / 3

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