Enunciado

Uma barra uniforme de madeira (d = 0,65) tem 10 cm por 10 cm por 3 m e está articulada em A, como mostra a Figura P2.120. A que ângulo theta a barra flutuará em água a 20°C?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nesse problema, como mostra a figura que ilustra a questão, temos uma barra de madeira de 3   m de comprimento e de base 10   c m × 10   c m . A parra faz um ângulo desconhecido θ com a horizontal.

Além disso, sabemos que esta barra está fixa em um ponto articulado A , localizado a 1   m da superfície livre de água.

O enunciado pede que a gente calcule o ângulo θ para fazer com que a barra flutue.

Pra resolvê-la, a gente tem que analisar quais forças estão agindo nessa situação. Vamo ver a figura abaixo:

Sendo: E o empuxo; W o peso da haste de madeira de densidade d   =   0,65 .

Note que a gente não tem o valor do comprimento da haste submerso h . Nos próximos passos, vamos descobrir esse valor fazendo um balanço de momento com relação ao ponto A e com h vamos calcular o ângulo θ

Vem comigo pra resolver a questão!

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as forças de empuxo e peso atuando na barra de madeira.

A primeira delas é o empuxo E . O empuxo pode ser calculado a partir do produto do peso específico da água γ e do volume da barra submerso.

Pra entender essa parte, vamo ver o esquema lá em cima. Temos um comprimento h da parte submersa da barra. Então, o volume submerso da barra será calculado utilizando o comprimento h desconhecido e deixaremos o valor de E em função dele.

Sendo assim:

E = γ V s u b = 9790   N / m ³ 0,10   m 2 h

E = 97,9 h

O peso da madeira pode ser calculada a partir da equação:

W   = d γ V t o t a l = 0,65 9790   N / m ³ 0,10   m 2 3   m = 190,9   N

Passo 3

Agora, vamos encontrar as linhas de ação do empuxo e do peso com relação ao ponto A .

Vamos olhar neste outro esquema:

O enunciado diz que a barra é uniforme. Isso quer dizer que podemos dizer que a força peso está aplicada toda no centro da barra e o empuxo está aplicado no centro da parte submersa da barra.

Por isso, olhe a linha de ação da força peso com relação ao ponto A , que chamamos de l W Como você pode notar, temos a formação de um triângulo retângulo de hipotenusa 1,5   m e cateto adjacente l W .

Usando uma simples relação trigonométrica, temos:

l w = 1,5 cos ⁡ θ

Por outro lado, como o empuxo está aplicada no meio da parte submersa, o triângulo retângulo formado tem hipotenusa de valor 3 - h / 2 e cateto oposto l E . Sendo assim:

l E = 3 - h / 2   cos ⁡ θ

Com l E e l W podemos fazer o balanço de momento.

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamo fazer o balanço de momento de E e W com relação ao ponto A . Como queremos que a barra flutue, o balanço de momento deve ser igual a zero:

∑ M A = E × L E - W × L W = 0

97,9 h 3 - h / 2   cos ⁡ θ - 190,9   1,5 cos ⁡ θ = 0

293,7 h - 48,95 h ² - 286,35 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores pra h:

h = 1,22   m   o u   4,77   m

Como 4,77   m é um valor maior que a própria barra, sabemos que este não é o valor correto.

Para calcular o ângulo θ , basta que a gente volte na figura esquemática. Temos um triângulo de hipotenusa 3 - h (a parte emersa da barra) e cateto oposto 1   m (a distância do ponto A até a água). Sendo assim, usamos a seguinte relação para calcular o ângulo θ :

sin ⁡ θ =       c a t e t o   o p o s t o   h i p o t e n u s a  

θ = sin - 1 ⁡ c a t e t o   o p o s t o   h i p o t e n u s a      

θ = sin - 1 ⁡   1   m 3   m - 1,22   m

θ = 34,2 °

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O ângulo para o qual a barra flutuará em água é θ = 34,2 °

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