Enunciado

Barras longas e cilíndricas são termicamente tratadas em um forno infravermelho. As barras, com diâmetro D = 50 mm, são colocadas sobre uma bandeja isolada e são aquecidas por um painel infravermelho acima delas, mantido a temperatura de Tp = 800 K, com εp = 0,85. As barras estão a Tb = 300 K e têm emissividade de εb = 0,92.

  1. Para um espaçamento do produto de s = 100 mm e um comprimento do produto de L = 1 m, determine o fluxo térmico radiante chegando ao produto. Determine o fluxo térmico na superfície do painel aquecedor.
  2. Represente graficamente o fluxo térmico radiante experimentado pelo produto e o fluxo térmico radiante no painel aquecedor na região 50 mm ≤ s ≤ 250 mm.

Passo 1

Vamos lá! O problema já trouxe pra a gente um esqueminha do que ta acontecendo e na letra a , mas vamos só definir as superfícies :

Queremos o fluxo térmico radiante q 1 ' ' e q 2 ' ' !!

Como temos uma superfície isolada, podemos usar a equação 13.27 do livro pra achar a taxa termica radiante:

q 2 = - q 1 = σ ( T 2 4 - T 1 4 ) 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 + 1 A 1 F 1 R + 1 A 2 F 2 R - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

O fluxo térmico q 2 ' ' é:

q 2 ' ' = q 1 A 2

Logo:

q 2 ' ' = A 2 σ ( T 2 4 - T 1 4 ) 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 + 1 A 1 F 1 R + 1 A 2 F 2 R - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Sabendo que:

A 1 = s l

A 2 = π D l

A R = s l

Pela regra da reciprocidade:

F 2 R A 2 = F R 2 A R

Substituindo todas as áreas:

q 2 ' ' = σ ( T 2 4 - T 1 4 ) 1 - ε 1 π D ε 1 s + π D s F 12 + 1 s F 1 R + 1 s F R 2 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 s

Agora temos nossa equação prontinha, a gente só precisa achar as outras variáveis pra substituir!

Passo 2

Da tabela 13.1 tiramos a expressão pro fator de forma F 12 :

F 12 = 1 - 1 - D s 2 1 2 + D s tan - 1 ⁡ s 2 - D 2 D 2    

Lembrando que:

D = 50   m m

s = 100   m m

Não precisa converter, afinal F 12 é adimensional:

F 12 = 1 - 1 - 50 100 2 1 2 + 50 100 tan - 1 ⁡ 100 2 - 50 2 50 2 = 0,657  

A gente ainda precisa de F 1 R e F R 2 , pela regra da soma:

F 12 + F 1 R = 1

Logo:

F 1 R = 1 - 0,657 = 0,343

Agora pela regra da simetria:

F 12 = F R 2 = 0,657

Passo 3

q 2 ' ' = σ ( T 2 4 - T 1 4 ) 1 - ε 1 π D ε 1 s + π D s F 12 + 1 s F 1 R + 1 s F R 2 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 s

ε 2 = 0,92

ε 1 = 0,85

T 2 = 300   K

T 1 = 800   K

D = 50   m m = 0,05   m

s = 100   m m = 0,1 m

Sabendo que σ = 5,67 × 10 - 8   W / K 4 m 2 :

q 2 ' ' = 5,67 × 10 - 8 ( 300 4 - 800 4 ) 1 - 0,85 π × 0,050 0,85 × 0,1 + π × 0,050 0,1 × 0,657 + 1 0,1 × 0,343 + 1 0,1 × 0,657 - 1 + 1 - 0,92 0,1 × 0,92

Calculando:

q 2 ' ' = - 10,616   W / m 2

Passo 4

Agora só falta q 1 ' ' , lembrando que:

q 2 = - q 1

Mas:

q 2 ' ' = q 2 A 2 ; q 1 ' ' = q 1 A 1

Então:

q 1 ' ' = - q 2 ' ' A 2 A 1

Lembrando que:

A 1 = s l

A 2 = π D l

Então:

q 1 ' ' = - ( - 10,616 ) π × 0,05 × l 0,1 × l

Calculando:

q 1 ' ' = 16,680   W / m 2

Passo 5

Para a letra b a gente quer representar graficamente a dependencia dos fluxos térmicos encontrados com s !

Lembrando que:

q 2 ' ' = σ ( T 2 4 - T 1 4 ) 1 - ε 1 π D ε 1 s + π D s F 12 + 1 s F 1 R + 1 s F R 2 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 s

Podemos isolar s :

q 2 ' ' = s σ T 2 4 - T 1 4 1 - ε 1 π D ε 1 + π D F 12 + 1 F 1 R + 1 F R 2 - 1 + 1 - ε 2 ε 2

Então:

q 2 ' ' s = - 10,616 0,1 = 106,16

Logo:

q 2 ' ' = - 106,16   s

Seguindo o mesmo raciocínio:

q 1 ' ' = 16,680 0,1   s

Ficamos com:

q 1 ' ' = 166,80 s

Passo 6

Então já temos as nossas equações:

q 1 ' ' = 166,80 s

q 2 ' ' = - 106,16   s

Vamos variar s :

0,050   m   ≤   s   ≤   0,250   m m

Plotando:

Resposta

q 1 ' ' = 16,680   W / m 2

q 2 ' ' = - 10,616   W / m 2

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