Enunciado

Uma batata pode ser considerada como uma esfera sólida de 5,7 cm de diâmetro com as propriedades ρ = 910 k g m 3 ,   c p = 4,25 k J k g K ,   k = 0,68 W m K   e   α = 1,76 × 10 - 7 m 2 s . Doze dessas batatas inicialmente a 25°C devem ser cozidas colocando-as em um forno mantido a 250°C, com um coeficiente de transferência de calor de 95 W m 2 K . A quantidade de calor transferido para as batatas até o centro atinge a temperatura de 90°C é:

a) 1012 kJ;

b) 1366 kJ;

c) 1788 kJ;

d) 2046 kJ;

e) 3270 kJ.

Passo 1

Vamoo que vamooo!!

Primeiro, nós queremos achar o que?

O calor transferido para as batatas para que o centro atinja 90°C, certo?

Para isso vamos usar a equação:

Q Q m a x e s f e r a = 1 - 3 θ 0 ,   e s f e r a sin ⁡ λ - λ . cos ⁡ λ λ ³

Vamos começar achando o primeiro termo, θ 0 ,   e s f e r a . Se lembram como?

θ 0 ,   e s f e r a = T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞

Se:

T = 90 ° C

T ∞ = 250 ° C

T i = 25 ° C

Então:

θ 0 ,   e s f e r a = 90 ° C - 250 ° C 25 ° C - 250 ° C = 0,711

Para achar o termo λ , nós precisamos, antes de qualquer coisa, do número de Biot:

B i = h r 0 k

Sabemos que:

h = 95 W m 2 K

k = 0,68 W m K

r 0 = d 2 = 0 , 057   m 2 = 0,0 285   m

Agora é só calcular o Biot:

B i = 95 W m 2 K 0,0 285   m 0 , 68 W m K = 3,98

Passo 2

Olhando a Tabela:

Como não temos o valor de Biot nós precisamos interpolar:

λ = λ B i 1 + B i - B i 1 λ   B i 2 - λ   B i 1 B i 2 - B i 1

Usando os dados para uma esfera:

B i 1 = 3,0 →   λ   B i 1 = 2,2889     e       A   B i 1 = 1,6227

B i 2 = 4,0 →   λ   B i 2 = 2,4556     e         A   B i 2 = 1,7202

Substituindo:

λ = 2,2889     + 3,98 - 3,0     2,4556 - 2,2889     4 , 0 - 3 , 0 = 2,4522

Já temos dois dados para calcular o calor, agora nós só precisamos achar o calor máximo!

Vamos ver a fórmula?

Q m a x = N m c p T ∞ - T i

Se:

N = 12   b a t a t a s

T ∞ = 250 ° C

T i = 25 ° C

c p = 4,25 k J k g K

Agora só precisamos da massa, mas isso é moleza!! Vamos usar a densidade:

ρ = m V

Por ser uma esfera:

ρ = m π D 3 6

Como:

D = 0,057   m

ρ = 910 k g m 3

Então:

910 k g m 3 = m π 0,057   m 3 6

m = 0,088   k g

Achando o calor máximo:

Q m a x = 12 0,088   k g 4,25 k J k g K 250 ° C - 25 ° C

Q m a x = 1009,8   k J

Passo 3

Se temos todos os dados só nos resta colocar na fórmula do Passo 1:

Q 1009,8   k J = 1 - 3 × 0,711 × sin ⁡ 2,4522 - 2,4522 . cos ⁡ 2,4522 2,4522 ³

Q 1009,8   k J = 1,3476

Q = 1360,806   k J

Sendo assim, para que a temperatura do centro das 12 batatas atinja 90°C nós precisamos de 1360,806   k J .

Aproximadamente, nossa resposta correta será a letra (b)!!

Grandinha, não ?

Mas acabamos !! :P

Resposta

L e t r a   B   ‼

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