Enunciado

Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperaturas no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função

T x , y , z = x 2 - 2 y 2 + z 2 - x y + 2 y z

Considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo, determine as regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.

Passo 1

Vamos dar início as nossas questões sobre equação de calor com essa belezura aqui em que temos uma distribuição de temperatura, T x , y , z , dentro de um corpo infinito e homogêneo em um dado instante de tempo.

T x , y , z = x 2 - 2 y 2 + z 2 - x y + 2 y z

E a partir da expressão acima, precisamos descobrir as regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que as propriedades do meio infinito são constantes e não há geração interna de calor.

A distribuição de temperatura no meio, a qualquer instante, deve satisfazer a equação do calor. Para o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais, com propriedades constantes e sem geração interna de calor, a equação do calor é:

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 = 1 α ∂ T ∂ t

Se T x , y , z satisfaz essa relação, a conservação de energia é satisfeita em todos os pontos do meio. Substituindo T x , y , z na equação de cima temos:

∂ ∂ x ( 2 x - y ) + ∂ ∂ y ( - 4 y - x + 2 z ) + ∂ ∂ z ( 2 z + 2 y ) = 1 α ∂ T ∂ t

Realizando as diferenciações,

2 - 4 + 2 = 1 α ∂ T ∂ t

Então,

∂ T ∂ t = 0

O que implica que, no instante prescrito, a temperatura está em toda parte independente do tempo.

Resposta

A temperatura está em toda parte independente do tempo.

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