Enunciado

A boia de mastro de 50 mm por 50 mm por 3,65 m da Figura P2.113 tem 2,3 kg de aço na extremidade e se apoia sobre uma pedra, como mostra a Figura P2.115. Calcule o ângulo theta no qual a boia se equilibrará, considerando que a pedra não exerce nenhum momento sobre o mastro.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nesse problema, temos uma boia de mastro de base 50   m m × 50   m m e com comprimento de 3,65   m e densidade d = 0,6 . Um peso de 2,3   k g de aço está apoiado na extremidade e está apoiado em uma pedra, como demonstra a figura que ilustra a questão.

Como vocês podem ver pela ilustração, existe um ângulo θ do mastro com relação ao plano vertical. A questão quer que a gente calcule esse ângulo θ .

Pra isso, devemos entender que temos duas forças atuando aqui: a força peso W do corpo e o empuxo exercido pela água na boia E .

Para calcular o peso, podemos utilizar a equação:

W = d γ V b o i a

Sendo: γ = 9790   N / m ³   o peso específico da água e V b o i a o volume da boia.

Para calcular o empuxo, fazemos:

E = γ V d e s l  

Sendo e V d e s l o volume da boia submersa.

Nos próximos passos, vamos utilizar essas forças em um balanço de momento para calcular o ângulo θ .

Vem comigo pra resolver a questão!

Passo 2

Pra começo de conversa, vamos olhar esse esquema abaixo antes da gente começar com esse passo:

Vamos chamar de L o comprimento da boia que está submerso. Sim, como você pode perceber pela imagem, não temos o valor desse comprimento. Vamos ter que descobri-lo a partir de um balanço de momento.

Mas primeiro, vamos calcular o peso W da boia:

W = d γ V b o i a = 0,6 9790 N m 3 0,05   m × 0,05 × 3,65   m  

W = 53,6   N

Para o empuxo, iremos achar uma expressão dependente de L   a partir da equação que eu te mostrei no Passo 1:

E = γ V d e s l = 9790 N m 3 0,05   m × 0,05 × L

E = 24,5 × L

Como eu disse pra vocês no Passo 1, iremos fazer um balanço de momento no próximo passo para calcular o valor de L e a partir dele calcular o ângulo θ . Pra isso, devemos calcular as linhas de ação das forças até o ponto A .

Como você pode ver pela figura, podemos calcular as linhas de aplicação a partir a partir de relações trigonométricas.

Supomos então que a boia é uniforme. Portanto, podemos considerar que todo o peso e o Empuxo estão concentrados em um ponto: no caso do peso, no meio da boia, e do empuxo, no meio da parte submersa.

Dessa forma, podemos definir a distância de aplicação da força peso W com relação ao fio será 3,65   m 2 sen ⁡ θ   e a distância de aplicação do empuxo E será L 2 sen ⁡ θ   .

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamo fazer um balanço de momento das forças peso e empuxo com relação ao ponto A .

Como queremos que a boia esteja equilibrada, isso significa dizer que o somatório de momento das forças aplicadas nela é zero. Ou seja, nosso balanço de momentos é:

∑ M A = W × l W - E × l E = 0

Sendo: l W e l E as linhas de aplicação com relação a A   do peso e do empuxo, que já calculamos no passo anterior.

Substituindo os valores na equação, teremos:

53,6   N × 3,65   m 2 sen ⁡ θ   - 24,5 × L × L 2 sen ⁡ θ   = 0

97,82 sen ⁡ θ     - 12,25 × L ² sen ⁡ θ     = 0

L 2 = 97,82 sen ⁡ θ     12,25 sen ⁡ θ     = 7,98   m ²

L = 2,82   m

Agora, podemos calcular o ângulo θ . Devemos voltar pra figura que eu te mostrei no passo anterior.

Pela figura, sabemos que a distância vertical até a superfície livre é de 2,4   m . Logo, basta fazermos uma simples relação trigonométrica:

c o s θ   = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 2 ,   4   m L = 2,4   m 2,82   m = 0,85  

θ = 0,85   = 31,7 °

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O ângulo no qual a boia se equilibrará é θ = 31,7 °

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