Enunciado

Balões científicos operando em uma pressão de equilíbrio com o ambiente têm sido usados para levar instrumentos a altitudes extremamente elevadas. Um desses balões, construído em poliéster com espessura de 0,013 mm e diâmetro de 120 m, elevou uma carga de 230 kg. A densidade relativa do material do balão é 1,28. Determine a altitude na qual o hélio usado no balão está em equilíbrio térmico com o ar ambiente. Suponha que o balão seja perfeitamente esférico.

Passo 1

O problema que vamos resolver é sobre um balão esférico cheio de hélio que levanta uma carga útil de massa M = 230   k g . Na altitude, o hélio e o ar estavam em equilíbrio térmico. O diâmetro do balão é 120   m e a gravidade específica do material da pele é de 1,28 . Tendo isso, devemos encontrar a altitude em que o balão subiu.

Aplicaremos as equações hidrostáticas neste sistema:

F = ρ g V d (a força de empuxo é igual à massa do fluido deslocado)

p =   ρ R T   (Equação de estado ideal dos gases)

Para o problema, consideramos: fluido estático e incompressível; equilíbrio estático a 49   k m de altitude; e comportamento ideal do gás.

Passo 2

Temos o seguinte diagrama de corpo livre:

∑ F = 0       ∴           ∑ F = F - M H e g - M p g - M g = 0

F f l u t u a d o r - M H e g - M p g - M g = 0

Substituindo a força flutuante e sabendo que a massa é densidade vezes o volume:

ρ a r g V b - ρ H e g V b - ρ p g V p - M g = 0

ρ a r V b - ρ H e V b - ρ p V p - M = 0

Calculamos o volume do balão e o volume do material:

V b = π 6 D 3                     V p = π D 2 t

Substituindo na equação, temos:

ρ a r π 6 D 3 - ρ H e π 6 D 3 - ρ p π D 2 t - M = 0

ρ a r - ρ H e = 6 π D 3 π ρ s t D 2 + M

A partir da equação de estado ideal dos gases e lembrando que a pressão e a temperatura do ar e hélio são iguais:

p T = 6 π D 3 π ρ s t D 2 + M   1 1 R a r - 1 R H e

Substituindo valores conhecidos, usando a tabela do Apêndice A que contem no final do:

p T = 6 π 120 3 π × 1280 k g m 3 × 0,013 × 10 - 3 × 120 2 + 230     1 1 287 - 1 2080   N   m k g   K × P a   m 2 N

p T = 3,616 × 10 - 4 k P a K

Para determinar a altitude, precisamos verificar essa relação com os dados da Tabela A.3. Para a relação pressão/temperatura achamos:

h = 48,3 k m

Prontinho!!

Resposta

h = 48,3 k m

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