Enunciado

Para cada um dos casos a seguir, determine um comprimento característico apropriado L c e o número de Biot B i correspondente que está associado à resposta térmica transiente do objeto sólido. Diga se a aproximação pela capacitância global é válida. Se a informação da temperatura não for fornecida, avalie as propriedades a T = 300   K .

(e) Uma esfera sólida de diâmetro D = 12   m m e condutividade térmica k = 120   W / m ⋅ K está suspensa em um grande forno, no qual há vácuo no interior e paredes com temperatura interna de T v i z = 20 ℃ . A temperatura inicial da esfera é de T i = 100 ℃ e sua emissividade ε = 0,73 .

Passo 1

(e) Fala galera!!

Dados fornecidos:

Diâmetro da esfera: D = 12   m m

Condutividade térmica: k = 120   W / m ⋅ K

Temperatura interna das paredes: T v i z = 20 ℃ = 293   K

Temperatura inicial da esfera: T i = T s = 100 ℃ = 373   K

Emissividade: ε = 0,73

Como a transferência de calor da esfera é por radiação, calcularemos o coeficiente efetivo de transferência de calor por radiação pela Equação 1.9:

h r = ε σ T s - T v i z T s 2 - T v i z 2

Aqui  σ é a constante de Stefan Boltzmann, ε é a emissividade da superfície, T s é a temperatura da superfície e  T v i z é a temperatura do ambiente. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

h r = 0,73 5,67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 373   K - 293   K 373   K 2 - 293   K 2

h r = 6,20   W / m 2 ⋅ K

Para resolver essa questão, é importante saber que o comprimento característico é a razão da área pelo volume, ou seja:

L c = V A s

Aqui, A s é a área da superfície e V é o volume.

Passo 2

Agora, vamos substituir os termos para encontrar o comprimento característico. Para uma esfera, temos que a o volume é dado pela expressão

V = π D 3 6

e a área da superfície é dada ela expressão

A s = π D 2

Aqui,  D é o diâmetro da esfera.

Passo 3

Substituindo as relações encontradas na equação do comprimento característico, temos o seguinte:

L c = π D 3 / 6 π D 2

L c = D 6

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L c = 12   m m 6

L c = 2   m m

Portanto, o comprimento característico apropriado que está associado à resposta térmica transitória desse objeto sólido é 2   m m .

Passo 4

Agora, vamos calcular o número Biot correspondente ao comprimento característico de  0,00 2   m . Temos que Biot é calculado pela seguinte expressão:

B i = h L c k

Aqui,   h é o coeficiente convectivo,  L c é o comprimento característico e  k é a condutividade térmica do corpo. Substituindo os temos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

B i = 6,20   W / m 2 · K 0,00 2   m 120     W / m ⋅ K

B i = 0,00 01

Portanto, o número Biot correspondente que está associado à resposta térmica transitória do objeto sólido é  0,00 01 . Para que a aproximação da capacitância acumulada seja válida, a condição é

B i < 0,1

Temos que o número de Biot correspondente ao comprimento característico é menor que 0,1 , portanto, a aproximação da capacitância global é válida neste caso.

Resposta

L c = 2   m m

B i = 0,0001

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