Enunciado

Cálculos preliminares para uma usina hidrelétrica mostram que uma altura de carga líquida de 715 m está disponível com uma vazão de água de 2m³/s. Compare a geometria e a eficiência de rodas Pelton projetadas para funcionar a (a) 450 rpm e (b) 600 rpm.

Passo 1

Tá legal! Precisamos primeiro pegar alguns dados da Figura 10.11 apresentada nessa seção, como a eficiência máxima para o sistema de rodas Pelton e a sua velocidade específica correspondente, então, temos:

Dessa forma, como as rodas Pelton são classificadas como máquinas de impulsão, a eficiência máxima será:

η m a x = 0,89

E, para esse valor, temos uma velocidade específica de:

N s = 5

Agora, sabemos que a potência de saída do sistema pode ser escrita como:

P s = η ρ g H Q

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

P s = 0,89 999 9,81 715 2 → P s = 12472,7   k W

Passo 2

Agora, vamos analisar a turbina para o caso da letra a), onde temos N = 450   r p m . Só que antes disso, ao fazer as contas com as unidades sugeridas abaixo do gráfico fornecido no livro, obtemos:

N s = N P 1 2 H 5 4 = 450 12472,7 1 2 715 5 4 → N s = 13,6

Esse valor fica fora da faixa utilizada, então a escala do gráfico fornecido não corresponde ao cálculo da velocidade específica com essas unidades, então vamos utilizar as unidades do sistema inglês, onde temos N em rpm, P em hp e H em pés, então, convertendo as informações, temos:

P = 12472,7   k W = 16726,2   h p

H = 715   m = 2345,8   p é s

E a equação para a velocidade específica se torna:

N s = 450 16726,2 1 / 2   2345,8 5 / 4 → N s = 3,56

Agora sim caímos na faixa de estudo, e para esse valor de velocidade específica temos uma eficiência correspondente de:

η = 0 , 88

Passo 3

Então agora vamos encontrar a velocidade do jato ainda para o caso da letra a):

V j = 2 g H = 2 ( 9,81 ) ( 715 ) → V j = 118,4   m / s

Agora precisamos encontrar a velocidade da roda, que será dada pela figura 10.36 junto com a eficiência de 0,88 encontrada, então, temos:

Então, para a eficiência de 0,88, temos uma razão de:

U V j = 0,48 → U = 0,48 118,4 → U = 56,8   m / s

Então, o diâmetro da roda pode ser encontrado através da equação:

D = 2 R

E o raio pode ser encontrado através da velocidade da roda:

U = ω R → R = 56,8 450 2 π 60 → R = 1,2   m

Então o diâmetro da roda será:

D = 2 1,2 → D = 2,4   m

Agora podemos encontrar o diâmetro do jato através da equação da vazão, onde temos:

Q = V j A j = V j π D j 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

2 = 118,4 π D j 2 4 → D j = 0,15   m

E, por fim, a relação entre o diâmetro do jato e da roda será:

r = D j D = 0,15 2,4 → r = 0,0625

Passo 4

Agora, vamos analisar a turbina para o caso da letra b), onde temos N = 600   r p m . E a equação para a velocidade específica se torna (lembrando de usar os dados do sistema americano):

N s = 600 16726,2 1 / 2   2345,8 5 / 4 → N s = 4,75

Agora sim caímos na faixa de estudo, e para esse valor de velocidade específica temos uma eficiência correspondente de:

η = 0 , 89

Note que esse valor é o que consideramos para a eficiência máxima.

Passo 5

Então agora vamos encontrar a velocidade do jato para o caso da letra b):

V j = 2 g H = 2 ( 9,81 ) ( 715 ) → V j = 118,4   m / s

Agora precisamos encontrar a velocidade da roda, que será dada pela figura 10.36 junto com a eficiência de 0,89 encontrada, então, temos:

Então, para a eficiência de 0,88, temos uma razão de:

U V j = 0,49 → U = 0,49 118,4 → U = 58   m / s

Então, o diâmetro da roda pode ser encontrado através da equação:

D = 2 R

E o raio pode ser encontrado através da velocidade da roda:

U = ω R → R = 58 600 2 π 60 → R = 0,92   m

Então o diâmetro da roda será:

D = 2 0,92 → D = 1,85   m

Agora podemos encontrar o diâmetro do jato através da equação da vazão, onde temos:

Q = V j A j = V j π D j 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

2 = 118,4 π D j 2 4 → D j = 0,15   m

E, por fim, a relação entre o diâmetro do jato e da roda será:

r = D j D = 0,15 1,85 → r = 0,0812

Resposta

N s = 3,56 ; η = 0 , 88 ; U = 5 6 , 8   m / s ; D = 2,4   m ; r = 0,0625

N s = 4,75 ; η = 0,89 ; U = 58   m / s ; D = 1,85   m ; r = 0,0812

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