Enunciado

As turbinas de reação em Niagara Falls são do tipo Francis. O diâmetro externo do rotor é 4,5 m. Cada turbina produz 54 MW a 107 rpm, com eficiência de 93,8% sob uma altura de carga líquida de 65 m. Calcule a velocidade específica dessas unidades. Avalie a vazão volumétrica em cada turbina. Estime o diâmetro do tubo de adução, se ele tem 400 m de comprimento e altura de carga líquida é 83% da altura de carga bruta.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício calculando a energia específica da turbina, dada por:

h = g H = 9,81 65 → h = 637,6   m 2 / s 2

Agora vamos calcular a velocidade específica da turbina, através de:

N S = ω W ú t i l 1 2 ρ 1 2 h 5 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

N S = 107 54.10 3 1 2 999 1 2 637,6 5 4 → N S = 0,245

Passo 2

Agora vamos calcular a vazão da turbina, que pode ser encontrada através da potência útil, dada por:

W ú t i l = η ρ h Q

Substituindo os valores conhecidos, temos:

54.10 6 = 0,938 999 637,6 Q → Q = 90,4   m 3 / s

Passo 3

Agora, para estimar o diâmetro do tubo de adução, vamos começar calculando a perda de carga específica:

h 1 T g = H - H l i q = H - 0,83 H

Substituindo os valores conhecidos, temos:

h 1 T 9,81 = 65 - 0,83 65 → h 1 T = 108,4   m 2 / s 2

Agora, vamos escrever a equação para a perda de carga específica, como não temos perda localizada, ela se torna:

h 1 T = f L V 2 2 D

No entanto, nós podemos escrever a velocidade em função da vazão, como:

Q = V A = V π D 2 4 → V = 4 Q π D 2

Então, substituindo essa expressão na equação para a perda de carga específica, temos:

h 1 T = f L 2 D 4 Q π D 2 2 → h 1 T = 16 f L Q 2 2 π D 5 → D = 8 f L Q 2 π h 1 T 1 5

Passo 4

Beleza! Esse problema precisa ser resolvido de maneira iterativa, pois D depende da velocidade, que depende de f . Então, para começar precisamos assumir uma rugosidade superficial para o material, assumindo que a tubulação seja de concreto, temos:

e = 0,003   m

Então, vamos começar chutando um valor de D = 3   m , nesse caso, a velocidade seria:

V = 4 Q π D 2 = 4 90,4 π 3 2 → V = 12,79   m / s

E o número de Reynolds será:

R e = V D ν = 12,79 3 10 - 6 → R e = 3,84.10 7

Dessa forma, calculando o fator de atrito através da equação de Colebrook, com o auxílio de uma calculadora, dada por:

1 f = - 2 log ⁡ e 3,7 D + 2,51 R e f

Substituindo os valores conhecidos, temos:

1 f = - 2 log ⁡ 0,003 3,7 3 + 2,51 3,84.10 7 f → f = 0,0196

E, retornando à equação do diâmetro, temos:

D = 8 f L Q 2 π h 1 T 1 5 = 8 0,0196 400 90,4 2 π 2 108,4 1 5 → D = 3,436   m

Como obtemos um valor relativamente distante do palpite inicial, vamos iterar novamente.

Passo 5

Então, agora, usando o valor obtido no passo 4 de D = 3,436   m , vamos calcular novamente a velocidade:

V = 4 Q π D 2 = 4 90,4 π 3 , 436 2 → V = 9,75   m / s

E o número de Reynolds será:

R e = V D ν = 9,75 3 , 436 10 - 6 → R e = 3,35 . 10 7

Dessa forma, calculando o fator de atrito através da equação de Colebrook, com o auxílio de uma calculadora, dada por:

1 f = - 2 log ⁡ e 3,7 D + 2,51 R e f

Substituindo os valores conhecidos, temos:

1 f = - 2 log ⁡ 0,003 3,7 3 , 436 + 2,51 3,35 . 10 7 f → f = 0,0190

E, retornando à equação do diâmetro, temos:

D = 8 f L Q 2 π h 1 T 1 5 = 8 0,0190 400 90,4 2 π 2 108,4 1 5 → D = 3,415   m

Como o valor já está próximo do valor usado para calcular essa iteração, vamos parar por aqui.

Resposta

N S = 0,245

Q = 90,4   m 3 / s

D = 3,415   m

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