Enunciado

Em uma camada plana de carvão, com espessura L = 1   m , ocorre geração volumétrica uniforme a uma taxa q ˙ =   1 0   W / m 3 devido à lenta oxidação de partículas de carvão. Com base em valores médios diários, a superfície superior da cama da transfere calor por convecção para o ar ambiente, no qual h = 8   W / ( m 2 · K ) e T ∞ = 25 ° C , enquanto recebe irradiação solar em uma quantidade G S = 5 00   W / m 2 . Irradiação a partir da atmosfera pode ser desprezada. A absortividade em relação aos raios solares e a emissividade da superfície são, cada uma, α S = ε = 0,95 .

(a) Escreva a forma para o regime estacionário da equação da difusão térmica para a camada de carvão. Verifique se essa equação é satisfeita pela distribuição de temperaturas com a forma

A partir dessa distribuição, o que você pode dizer sobre as condições existentes na superfície inferior ( x = 0 ) ? Esboce a distribuição de temperaturas e aponte suas principais características.

(b) Obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução, por unidade de área, em x = L . Aplicando um balanço de energia em uma superfície de controle ao redor da superfície superior da camada, obtenha uma expressão para T s . Calcule T s e T ( 0 ) para as condições especificadas.

Passo 1

E aí, beleza?

Fica de olho para não se perder e vem comigo resolver essa questão!

Letra a)

Começamos o nosso problema a partir da seguinte equação:

q = - k d T d x d T d x

Substituindo a seguinte equação dada:

T x = T s + q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2

Temos:

q = - k d T d x d d x T s + q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2

Integrando:

q = - k d T d x q ˙ L 2 2 k - 2 x L 2

q = - k q ˙ L 2 2 k - 2 L 2

Rearranjando:

q k - q k = 0

Ou seja, todos os valores de x satisfazem a equação!

Continuando, devemos esboçar o gráfico do comportamento da temperatura em função de x :

q x ' ' = - k d T d x

q x ' ' = - k d d x T s + q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2

Integrando:

q x ' ' = q x

Assim, quando x = 0 , q x ' ' = 0 .

O nosso gráfico tem a seguinte forma:

Passo 2

Letra b)

Partindo do balanço de energia, temos:

E e n t - E s a i + E g = 0

Abrindo a nossa equação:

q ⋅ L - h ⋅ T s - T ∞ + 0,95 ⋅ G s - ε σ T s 4 = 0

Isolando T s :

h ⋅ T s + ε ⋅ σ ⋅ T s 4 = q ⋅ L + h ⋅ T ∞ + 0,95 ⋅ G s

Substituindo os dados:

8 ⋅ T s + 0,95 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ T s 4 = 10 ⋅ 1 + 8 ⋅ 300 + 0,95 ⋅ 500

8 ⋅ T s + ( 5,3865 × 10 - 8 ) ⋅ T s 4 = 2885

Resolvendo essa equação:

T s = 360,6   K = 87,45 ° C

Passo 3

Por último:

T x = T s + q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2

Substituindo os dados:

T 0 = 87,45 + 10 ⋅ 1 2 2 ⋅ 0,26 1 - 0 2 1 2

T 0 = 106,7 ° C

Uffa!

Até a próxima questão!

Resposta

Todos os valores de x satisfazem a nossa equação.

T s = 360,6   K = 87,45 ° C

T 0 = 106,7 ° C

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