Enunciado

Considere a parede plana, o cilindro longo e a esfera mostrados esquematicamente, todos com o mesmo comprimento característico a, mesma condutividade térmica k e mesma taxa volumétrica de geração de energia uniforme q ˙ .

(a) No mesmo gráfico, represente a temperatura adimensional em regime estacionário, T x   o u   r - T a / [ q ˙ a 2 / 2 k ] , em função dos comprimentos característicos adimensionais, x/a ou r/a, para cada geometria.

(b) Que geometria tem a menor diferença de temperaturas entre o centro e a superfície? Explique esse comportamento comparando a razão volume/área superficial.

(c) Que geometria seria preferível para uso como um elemento combustível nuclear? Explique por quê.

Passo 1

Tá legal! Para começar a letra (a) vamos consultar o apêndice C do livro e buscar as equações para cada uma das geometrias representadas. Então, para a parede plana, temos a equação C.22, dessa forma:

T x = q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2 + T s

Nesse caso, precisamos deixar a equação no formato pedido no enunciado, nesse caso, temos a = L , então, podemos escrever:

T x = q ˙ a 2 2 k 1 - x 2 a 2 + T s → T x - T s = q ˙ a 2 2 k 1 - x a 2

T x - T s q ˙ a 2 2 k = 1 - x a 2

Agora, vamos pegar a equação C.23 para o bastão cilíndrico:

T r = q ˙ r o 2 4 k 1 - r 2 r o 2 + T s

Nesse caso temos a = r o , então, reescrevendo a equação, temos:

T r = q ˙ a 2 4 k 1 - r 2 a 2 + T s → T r - T s = q ˙ a 2 4 k 1 - r 2 a 2

T r - T s q ˙ a 2 2 k = 1 2 1 - r a 2

Passo 2

E, agora, para a esfera, temos a equação C.24:

T r = q ˙ r o 2 6 k 1 - r 2 r o 2 + T s

Nesse caso nós temos a = r o . Escrevendo a equação no formato de interesse, chegamos em:

T r = q ˙ a 2 6 k 1 - r a 2 + T s → T r - T s = q ˙ a 2 6 k 1 - r a 2

T r - T s q ˙ a 2 2 k = 1 3 1 - r a 2

Agora nós vamos representar as equações encontradas em um gráfico em função do valor adimensional x / a e r / a , então, temos:

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós temos que comparar a relação entre volume e área superficial para cada uma das geometrias. Então, começando pela parede plana, temos:

V A s = a 1 1 1 1 → V A s = a

Agora, para o cilindro temos:

V A s = π a 2 1 2 π a ( 1 ) → V A s = a 2

E, por fim, para a esfera, temos:

V A s = 4 π a 3 3 4 π a 2 → V A s = a 3

Como podemos ver, a menor relação entre o volume e a área superficial é a da esfera, então ela terá a menor diferença de temperatura entre o seu centro e a superfície. Podemos comprovar isso olhando para o gráfico encontrado no passo 2.

Passo 4

Por fim, para a letra (c), temos que para o uso de um elemento combustível nuclear, o ideal seria utilizar uma esfera, pois temos uma menor diferença de temperatura entre seu centro e a superfície, e com isso é mais fácil controlar a geração e transferência de calor.

Resposta

b :   e s f e r a

c :   e s f e r a

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