Enunciado

Uma cápsula esférica com 1,5 m de raio é lançada de uma plataforma espacial na órbita terrestre, de modo que ela viaja na direção do centro do Sol com uma velocidade de 16.000 km/s. Suponha que a cápsula seja um corpo de capacitância global com um produto da densidade vezes calor específico igual a 4 × 10 6 J/(m3 · K) e que sua superfície seja preta.

  1. Deduza uma equação diferencial para prever a temperatura da cápsula como uma função do tempo. Resolva esta equação para obter a temperatura como uma função do tempo, em termos dos parâmetros da cápsula e de sua temperatura inicial Ti.
  2. Se a cápsula inicia sua jornada a 20°C, preveja a posição da cápsula em relação ao Sol na qual sua temperatura de destruição, 150°C, é atingida.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão aí juntos! Temos duas letrinhas para responder...

Mas antes de tudo vamos começar anotando nossos dados, ok?

V = 16000   k m / s ρ   .   c = 4   .   10 6   J / m ³   .   K R = 1,5   m

T i = 20 ° C T d = 150 ° C

Agora sim! Vamos para as continhas!

Passo 2

Na letra a, precisamos primeiro deduzir uma equação diferencial para prever a temperatura e depois resolver ela… Vamos lá!

Para isso vamos fazer um balanço de energia:

E e n t - E s a i = E s t

G S   .   A c á p s u l a - σ   .   T 4   .   A t e r r a =   ρ   .   c   .   4 3   .   π   .   R ³   d T d t

Lembrando que nossas áreas serão:

A c á p s u l a = π   .   R ² A t e r r a = 4   .   π   .   R ²

Então vamos ficar com:

G S   .   π   .   R ² - σ   .   T 4   .   4   .   π   .   R ² =   ρ   .   c   .   4 3   .   π   .   R ³   d T d t

E a radiação solar pode ser encontrada assim:

G S r = G S ,   e   .   r e r 2 = G S ,   e   .   r e r e -   V   .   t 2 = G S ,   e   .   1 1   -     V   .   t r e 2

Substituindo na equação ficaremos com:

G S ,   e   .   1 1   -     V   .   t r e 2   .   π   .   R ² - σ   .   T 4   .   4   .   π   .   R ² =   ρ   .   c   .   4 3   .   π   .   R ³   d T d t

d T d t = 3 ρ   .   c   .   R   .   G S ,   e 4   .   1   -     V   .   t r e ² - σ   .   T 4

A equação a gente já conseguiu, agora vamos resolver ela!

Lembrando que:

G S ,   e = 1368   W / m ²

Sendo t = 0 e com T = 20 ° C → 293   K , vamos ter:

d T d t = 3 4   .   10 6   .   1,5   .   1368 4   .   1   -     16000   .   0 1,5   .   10 11 ² - 5,67   .   10 - 8   .   293 4

d T d t 0 =   - 3,9   .   10 - 5   K / s

Show! Partiu letra b!

Passo 3

Na letra b nós precisamos usar a equação da letra a, para encontrar o t em que a temperatura será T = 150 ° C → 423   K , bom, vamos lá então:

d T d t = 3 4   .   10 6   .   1,5   .   1368 4   .   1   -     16000   .   t 1,5   .   10 11 ² - 5,67   .   10 - 8   .   423 4

Se a gente considerar, por aproximação, usando método numérico, que d T d t = 5   .   10 5   s , teremos:

5   .   10 5 = 3 4   .   10 6   .   1,5   .   1368 4   .   1   -     16000   .   t 1,5   .   10 11 ² - 5,67   .   10 - 8   .   423 4

t ≈ 5,5   .   10 6   s

Prontinho! Arrasamos!!

Resposta

  1. d T d t = 3 ρ   .   c   .   R   .   G S ,   e 4   .   1   -     V   .   t r e ² - σ   .   T 4 ; d T d t 0 =   - 3,9   .   10 - 5   K / s
  2. t ≈ 5,5   .   10 6   s
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