Enunciado

Uma cápsula espacial tripulada viaja em voo nivelado acima da atmosfera terrestre com velocidade inicial u 0 = 8,00   k m / s . A cápsula deve ser desacelerada por um retrofoguete até u = 5,00   k m / s na preparação para a manobra de reentrada. A massa inicial da cápsula é m 0 = 1600   k g . O foguete consome combustível à taxa m ˙ = 8,0   k g / s e os gases de descarga saem a v e = 3000   m / s em relação à cápsula, com pressão desprezível. Avalie o tempo de funcionamento do retrofoguete necessário para realizar a desaceleração.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = v e ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) ::

d u d t = v e ⋅ m ˙ m = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ u 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u - u 0 = v e ⋅ ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0  

Isolando t , temos uma expressão algébrica para a o tempo de desaceleração da cápsula:

t = m 0 m ˙ 1 - e u - u 0 v e

Passo 4

Calculando a velocidade do trenó no final do funcionamento do retrofoguete.

Agora, apenas substituiremos os dados na equação do Passo 3:

u 0 = 8000   m / s ;

u = 5000   m / s ;

m ˙ = 8   k g / s ;

m 0 = 1600   k g ;

v e = 3000   m / s   .

Então:

t = 1600 8 1 - e 5000 - 8000 3000 = 126,4   s

Resposta

t = 126,4   s

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