Enunciado

Um carrinho, com uma pá defletora fixa, está livre para rolar sobre uma superfície nivelada. A massa do conjunto carrinho/pá é m = 5   k g e seua velocidade inicial é u 0 = 5   m / s . Em t = 0 , a pá é atingida por um jato de água em sentido oposto ao movimento do carrinho, conforme mostrado. Despreze quaisquer forças externas decorrentes de resistência do ar e de rolamento. Determine a velocidade do jato v requerida para levar o carrinho ao repouso em:

a )   1 s ;

b) 2 s ;

Em cada caso, encontre a distância total percorrida.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v + u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

u 1 = - ( v + u ) ;

u 2 = - v + u ⋅ cos ⁡ θ .

Substituindo a x = d u d t :

- d u d t ⋅ m = - v + u ⋅ - ρ ⋅ v + u ⋅ A - v + u ⋅ cos ⁡ θ ⋅ ρ ⋅ v + u ⋅ A

Passo 4

Encontrando a velocidade do jato:

- d u d t = v + u 2 ⋅ ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m

- d u v + u 2 = ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m d t

Substituindo d u por d ( v + u ) :

∫ u 0 0 d ( v + u ) v + u 2 = - ∫ 0 t ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m d t

Integrando, obtemos:

1 v - 1 v + u 0 = - ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m ⋅ t

Ajeitando a equação obtida:

v + u - v v ( v + u ) = - ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m ⋅ t

v 2 + v ⋅ u 0 = - m u 0 ρ A t ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ )

v = - u 0 2 + u 0 2 4 + m u 0 ρ A t ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 5

Encontrando a distância:

d u d t = u d u d x

Então:

- u d u d x = v + u 2 ⋅ ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m

- u d u v + u 2 = ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m d x

∫ u 0 0 u v + u 2 d u = - ∫ 0 t ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m d t

Integrando, obtemos:

ln ⁡ v v + u 0 + 1 - v v + u 0 = - ρ A ⋅ ( 1 - cos ⁡ θ ) m ⋅ x

Ajeitando a equação obtida:

x = - ln ⁡ v v + u 0 + 1 - v v + u 0 ⋅ m ρ A ⋅ 1 - cos ⁡ θ

Passo 6

Sabemos que:

m = 5   k g ;

u 0 = 5   m / s ;

A = π D 2 4 = π ⋅ 0,035 2 4 = 9,62 x 10 - 4 m 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

θ = 60 ° .

Passo 7

Letra a)

Para 1   s :

v = - 5 2 + 5 2 4 + 5 ⋅ 5 1000 ⋅ 9,62 x 10 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( 1 - cos ⁡ 60 ° ) = 5,13   m / s

x = - ln ⁡ 5,13 5,13 + 5 + 1 - 5,13 5,13 + 5 ⋅ 5 1000 ⋅ 9,62 x 10 - 4 ⋅ ( 1 - cos ⁡ 60 ° ) = 1,945   m

Passo 8

Letra b)

Para 2   s :

v = - 5 2 + 5 2 4 + 5 ⋅ 5 1000 ⋅ 9,62 x 10 - 4 ⋅ 2 ⋅ ( 1 - cos ⁡ 60 ° ) = 3,18   m / s

x = - ln ⁡ 3,18 3,18 + 5 + 1 - 3,18 3,18 + 5 ⋅ 5 1000 ⋅ 9,62 x 10 - 4 ⋅ ( 1 - cos ⁡ 60 ° ) = 3,467   m

Resposta

v = 5,13   m / s

x = 1,945   m

v = 3,18   m / s

x = 3,467   m

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