Enunciado

Se o carrinho do Problema 4.138 inicia o movimento em t = 0 , em que instante você esperaria a aceleração máxima? Esboce a sua expectativa para a curva de aceleração em função do tempo. Qual o valor de θ que daria a máxima aceleração em qualquer instante? Por que? A velocidade do carrinho poderá em algum instante igualar-se à velocidade do jato? Explique de forma sucinta.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Resistência contrária ao carrinho em x , com F S x = - F D = - k u 2

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então, F B x = 0 :

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = - F D

Então:

- F D - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- F D - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- F D - a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = - v - u ⋅ s e n   θ .

Então:

- k u 2 - a x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ v - u A + - v - u ⋅ s e n   θ ⋅ ρ v - u A

a x = 1 m [ ρ A ⋅ v - u 2 ⋅ 1 + s e n   θ - k u 2 ]

A partir da equação obtida percebemos que a aceleração é máxima é em t = 0 , já que nesse tempo a velocidade do carrinho é igual a 0, e consequentemente a resistência será nula.

Passo 4

Esboçando a sua expectativa para a curva de aceleração em função do tempo, temos uma diminuição resultante do quadrado da aceleração obtida pelo carrinho:

O valor de θ que daria a máxima aceleração em qualquer instante é de 90°, isso porque nesse ângulo o momento atua totalmente na direção vertical, sendo s e n   90 ° = 1 .

Passo 5

Para sabermos se a velocidade do carrinho poderá em algum instante igualar-se à velocidade do jato, devemos substituir u por v :

a x = 1 m [ ρ A ⋅ v - v 2 ⋅ 1 + s e n   θ - k v 2 ]

a x = 1 m ( - k v 2 )

Percebemos que obtivemos uma aceleração negativa, assim, temos que a velocidade do carrinho não poderá igualar-se à velocidade do jato por conta da resistência contraria ao movimento do carrinho.

Resposta

t = 0

θ = 90 °

A velocidade do carrinho não poderá igualar-se à velocidade do jato.

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