Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 11.Exercício - Ex. 27

Ver Outros Exercícios
desse livro

Uma chapa fina deve passar de forma contínua num banho de tinta contido num reservatório, como mostra a figura. Em regime permanente, o diagrama de velocidades bidimensional v z = f ( x ) é tal que, numa seção, a vazão é nula, já que parte da tinta sobe arrastada pela chapa e parte retorna por gravidade, mantendo a espessura constante. Como a velocidade da chape é baixa, admite-se que o atrito com o ar τ é desprezível. Determinar

  1. A expressão do diagrama de velocidades
  2. A velocidade de subida da chapa para que a espessura da camada de tinta seja h = 0,3   m m

Dados: ν t i n t a = 5 ⋅ 10 - 5 m 2 s ; g = 10   m / s 2

Passo 1

Primeiro, vamos considerar que o regime é permanente. Além disso, consideraremos que o movimento é unicamente no eixo z , assim, v x = v y = 0 . A questão também nos afirma que a velocidade em z é função apenas de x , então ∂ v z ∂ z = 0 . Por fim, já que a espessura é constante, e a pressão é igual a pressão atmosférica, então p = c t e

Com isso, a equação 11.40 de navier-stokes se reduz para:

∂ 2 v z ∂ x 2 = g ν  

Podemos simplificar para um integral total:

d 2 v z d x 2 = g ν

Integrando duas vezes temos:

d v z d x = g ν x + C 1

v z = g 2 ν x 2 + C 1 x + C 2

Passo 2

Na superfície de contato com a chapa ( x = 0 ), a velocidade do fluido é igual à velocidade da chapa:

x = 0 ⇒ v z = v 0

g 2 ν ⋅ 0 2 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = v 0

C 2 = v 0

Analogamente, no ponto de maior espessura, onde não há contato com chapa, a velocidade é máxima. E no ponto de velocidade máxima, a derivada é zero:

d v z d x x = h = 0

g ν ⋅ h + C 1 = 0

C 1 = - g h ν

Assim, a expressão do diagrama de velocidades é:

v z = g 2 ν x 2 - g h ν x + v 0

Passo 3

Item B)

Sabemos que a vazão de fluido é zero, e podemos calcular a vazão partindo da velocidade. Vamos usar isso para calcular a velocidade de subida da chapa.

Q = ∫ A v z d A

0 = ∫ A g 2 ν x 2 - g h ν x + v 0 d A

A área é igual ao comprimento da chapa, vezes a espessura de fluido. Os limites vão de zero até a espessura total do fluido

∫ 0 h g 2 ν x 2 - g h ν x + v 0 b d x = 0

∫ 0 h g 2 ν x 2 - g h ν x + v 0 d x = 0

g 6 ν x 3 - g h 2 ν x 2 + v 0 x 0 h = 0

g 6 ν h 3 - g h 2 ν h 2 + v 0 h = 0

v 0 = g h 2 3 ν

v 0 = 10 ⋅ 0,0003 2 3 ⋅ 5 ⋅ 10 - 5

v 0 = 6 ⋅ 10 - 3 m s

Resposta

  1. v z = g 2 ν x 2 - g h ν x + v 0
  2. v 0 = 6 ⋅ 10 - 3 m s

Exercícios de Livros Relacionados

Um líquido incompressível com viscosidade desprezível e massa específi

Ver Mais

O campo de velocidade para um sorvedouro plano do tipo vórtice é dado

Ver Mais

Para modelar a distribuição de velocidade na seção curva de entrada de

Ver Mais

Um bocal para um fluido incompressível e invíscido, com massa específi

Ver Mais

Repita o Exemplo 6.1, porém com uma consideração um pouco mais realist

Ver Mais