Enunciado

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Seja um meteorito que penetra na atmosfera. Admitir em primeira aproximação que o escoamento seja bidimensional e irrotacional na região próxima ao ponto de estagnação. Sabe-se que o escoamento pode ser representado pela superposição de uma fonte de intensidade q , com origem em (O), com um escoamento uniforme de velocidade v 0 na direção mostrada na figura.

  1. Determinar as expressões das funções potencial e de corrente correspondentes à superposição, em coordenadas polares.
  2. Determinar a expressão das componentes da velocidade em função de v 0 ,   q ,   θ ,   r .
  3. Se v 0 = 1000   m / s e o corpo tem raio de 1 m, determinar a intensidade da fonte para que se tenha o escoamento desejado.

Passo 1

Uma fonte (1) pode ser descrita pelas equações da página 306 do livro:

ϕ 1 = q 2 π ln ⁡ r

Ψ 1 = q 2 π θ

E o escoamento em coordenadas polares (2) pode ser descrito pelas equações:

ϕ 2 = v 0 r cos ⁡ θ

Ψ 2 = v 0 r sen ⁡ θ

Passo 2

Item A)

A superposição das expressões da cora das linhas de corrente é:

Ψ = Ψ 2 + Ψ 1

Ψ = q 2 π θ + v 0 r sen ⁡ θ

E a superposição das funções potenciais:

ϕ = ϕ 1 + ϕ 2

ϕ = q 2 π ln ⁡ r + v 0 r cos ⁡ θ

Passo 3

Item B)

As componentes de velocidade podem ser encontradas pelas equações 11.33

v r = ∂ ϕ ∂ r   e   v θ = ∂ ϕ r ⋅ ∂ θ

Calculando a velocidade no sentido e → r

v r = ∂ ϕ ∂ r

v r = ∂ ∂ r q 2 π ln ⁡ r + v 0 r cos ⁡ θ

v r = q 2 π ⋅ r + v 0 ⋅ cos ⁡ θ

Calculando a velocidade no sentido e → θ

v θ = ∂ ϕ r ⋅ ∂ r

v θ = 1 r ∂ ∂ θ q 2 π ln ⁡ r + v 0 r cos ⁡ θ

v θ = 1 r ⋅ 0 - v 0 r sen ⁡ θ

v θ = v 0 sen ⁡ θ

Passo 4

Item C)

Basta aplicar os valores na equação. Vamos aplicar no ponto A onde v r A = 0 ,   r A = 1   m ,   θ A = π

v r = q 2 π ⋅ r + v 0 ⋅ cos ⁡ θ

0 = q 2 π ⋅ 1 + 1000 ⋅ cos ⁡ π

0 = q 2 π ⋅ 1 - 1000

q = 2000 π m 3 s ⋅ m

Resposta

  1. Ψ = q 2 π θ + v 0 r sen ⁡ θ   ϕ = q 2 π ln ⁡ r + v 0 r cos ⁡ θ
  2. v r = q 2 π ⋅ r + v 0 ⋅ cos ⁡ θ
  3. v θ = v 0 sen ⁡ θ

  4. q = 2000 π m 3 s ⋅ m

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