Enunciado

Um cilindro curto de latão (ρ = 8530 kg/m³, c P = 0,389   k J k g . K , k   =   110   W / m . K   e   α   =   3,39 x 10 - 5 m ² / s ) de 4 c m de diâmetro e 20 c m   de altura está inicialmente a uma temperatura uniforme de T i = 150   ° C . Agora, o cilindro é colocado no ar atmosférico a 20 °C, e ocorre transferência de calor por convecção com coeficiente de transferência de calor h = 40   W / m ² . K . Calcule (a) a temperatura do centro do cilindro; (b) a temperatura do centro da superfície superior do cilindro e (c) a transferência total de calor a partir do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, o próprio enunciado afirma que o problema trata de um cilindro curto. Sabe o que isso significa? A transferência de calor ocorre tanto na direção x quanto na direção r para desse cilindro.

No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (ar) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:

ϴ c i l i n d r o c u r t o = ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙   ϴ p a r e d e p l a n a  

Ou seja:

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o = T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙ T x , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 150   ° C   e   T ∞ = 20   ° C ρ   =   8530   k g / m ³ c P = 0,389   k J k g . K k   =   110   W / m . K α   = 3,39 x 10 - 5   m ² / s h =   40   W / m ² . K

Passo 2

Agora, devemos calcular os adimensionais (Número de Biot e Número de Fourier) para cada uma das geometrias analisadas.

Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana submetida a convecção em ambos os lados é metade de sua espessura total, que, nesse caso, é a altura do cilindro (2L). Assim:

L = ( 20   c m ) / 2   = 10   c m   = 0,1   m R = ( 4   c m ) / 2   = 2   c m   = 0,02   m

Primeiro, vamos calcular o Número de Fourier (τ) para as duas geometrias. Vamos lembrar que, segundo o enunciado o processo ocorre em 15   m i n , ou seja, 900 s . Sendo assim:

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R ² =   ( 3,39 x 10 - 5   m ² / s ) ( 900 s ) ( 0,02   m ) ² = 76,28

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 3,39 x 10 - 5   m ² / s ) ( 900 s ) ( 0,1   m ) ² = 3,05

Note que ambos os valores de τ foram maiores que 0,2. Isso garante que nosso problema está sendo analisando em tempos muito longos, e podemos aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ( r , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡ J 0 ( λ 1 r / R )

ϴ p a r e d e p l a n a ( x ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ c o s ⁡ ( λ 1 x / L )

Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:

B i c i l i n d r o i n i f i t o =   h R k =   ( 40   W / m ² . K ) ( 0,02   m ) 110   W / m . K = 0,007   ≅ 0,01  

B i p a r e d e p l a n a =   h L k =   ( 40   W / m ² . K ) ( 0,1   m ) 110   W / m . K = 0,036   ≅ 0,04  

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para ambas as geometrias para encontrar A 1 e λ 1   para as duas:

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,01   →   λ 1 = 0,1412     A 1 = 1,0025

B i p a r e d e p l a n a = 0,04   →   λ 1 = 0,1987     A 1 = 1,0066

Passo 3

Vamos resolver agora a letra (a), que pede que a gente calcule a temperatura no centro do cilindro.

Bem, o centro do cilindro aqui é basicamente o ponto onde x = 0 e r = 0 , bastando que a gente substitua nas equações que eu te mostrei no passo anterior.

Primeiro, vamos resolver para o cilindro:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,900 s = 1,0025 e - 0,1412 2 76,28 ⁡ J 0 ( 0,1412 ) 0 R = ( 0,21908 ) J 0 ( 0 )

Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de J 0 ( 0 ) .

Pela Tabela, J 0 0 = 1 . Sendo assim:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,900 s = 0,21908 1 = 0,21908

Agora, vamos resolver para a parede plana:

ϴ p a r e d e p l a n a 0,900 s = 1,0066 e - 0,1987 2 3,05 ⁡ c o s ( 0,1987 ) 0 L = 0,89187

Pois c o s ( 0 )   =   1 .

Agora, basta multiplicar as soluções para encontrar o resultado para o cilindro curto:

ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , 900 s = 0,21908 0,89187 = 0,19539

Devemos lembrar, ainda, que

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o   → T 0,0 , 900   s - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , 900 s

Sendo assim:

T 0,0 , 900   s - 20   ° C 150   ° C - 20   ° C c i l i n d r o c u r t o =   0,19539 →     T 0,0 , 900   s = 45,4   ° C

Passo 4

A letra (b) pede que a gente calcule a temperatura do centro da superfície superior do cilindro. O procedimento é igual ao anterior, a única diferença é que o centro da superfície superior do cilindro é onde r   =   0 e   x   =   L   =   10   c m .

Bem, no passo anterior nós já calculamos o valor da solução adimensional do cilindro infinito para r   =   0. Basta agora que a gente calcule a solução adimensional da parede plana para x   =   L .

ϴ p a r e d e p l a n a 0,900 s = 0,89187 c o s 0,1987 L L = 0,89187 c o s 0,1987 = 0,87432  

Sendo assim:

T 0 , L , 900   s - 20   ° C 150   ° C - 20   ° C c i l i n d r o c u r t o =   0,21908 0,87432 = 0,19154  

→ T 0 , L , 900   s = 44,90   ° C

Passo 5

A letra (c) pede que a gente a transferência total de calor no tempo dado. Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:

Q Q m á x c i l i n d r o c u r t o =   Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o +   Q Q m á x p a r e d e p l a n a 1 -     Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o

Para calcular a quantidade de calor transferido para as geometrias analisadas usamos as seguintes equações:

Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o = 1 - 2 A 1 e - λ 1 2 τ J 1 ( λ 1 ) λ 1

Q Q m á x p a r e d e p l a n a = 1 - A 1 e - λ 1 2 τ   s e n ( λ 1 ) λ 1

Mas, antes de tudo, devemos calcular o valor de Q m á x que é a quantidade de calor máxima que pode ser transferida do cilindro:

Q m á x = m c P T i - T ∞ =   ρ V c P T i - T ∞

Onde V   =   π R 2 H = 2,51 x 10 - 4   m ³ é o volume do cilindro.

Assim:

Q m á x =   8530 k g m 3 2,51 x 10 - 4   m 3 0,389   k J k g . K 150   ° C - 20   ° C = 108,4   k J  

Devemos calcular também:

Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o = 1 - 2 1,0025 e - 0,1412 76,28 J 1 0,1412   0,1412   = 1 - 2 ( 1,551 ) J 1 0,1412  

Devemos ir novamente na Tabela 4-3, onde iremos encontrar J 1 0,1412   = 0,0703 partir da interpolação entre os valores de J 1 0,1   e J 1 0,2   disponíveis na tabela.

Logo, obtemos:

Q Q m á x c i l i n d r o i n f i n i t o = 1 - 2 ( 1,551 ) J 0 0,1412   = 1 - 2 1,551 0,0703 = 0,782

Além disso, vamos calcular para a parede plana:

Q Q m á x p a r e d e p l a n a = 1 - 0,89187 s e n 0,1987   0,1987   =     1 - 0,89187 0,1973 0,1987 = 0,144

Agora sim, finalmente podemos calcular a quantidade total de calor trocada pelo cilindro:

Q c i l i n d r o c u r t o = 108,4   k J 0,782   +   0,144 1 -     0,782 = 88,17   k J

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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