Enunciado

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Uma salsicha pode ser considerada como um cilindro de 12 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro cujas propriedades são ρ = 980 kg/m³, c P = 3,9   k J k g . ° C , k   =   0,76   W / m . ° C   e   α   =   1,99 x 10 - 7     m ² / s ). Uma salsicha inicialmente a 4°C é colocada em água fervente a 100   ° C . Considerando que o coeficiente de transferência de calor na superfície da salsicha é estimado em 680   W / m 2 . ° C , determine a temperatura no centro da salsicha depois de 5, 10 e 15 min, tratando a salsicha como (a) cilindro finito e (b) cilindro infinitamente longo.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, se formos tratar o problema como um cilindro curto, como pede a letra (a), teremos um problema multidimensional, onde a transferência de calor ocorrendo tanto em x   quanto em r .

No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (água) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:

ϴ c i l i n d r o c u r t o = ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙   ϴ p a r e d e p l a n a  

Ou seja:

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o = T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙ T x , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 4   ° C   e   T ∞ = 100   ° C k   =   0,76   W / m . ° C α   =   1,99 x 10 - 7   m ² / s h =   680   W / m 2 . ° C

Passo 2

Para resolver o problema, vamos aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ( r , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡ J 0 ( λ 1 r / R )

ϴ p a r e d e p l a n a ( x ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ c o s ⁡ ( λ 1 x / L )

Agora, devemos calcular os adimensionais (Número de Biot e Número de Fourier) para cada uma das geometrias analisadas.

Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana submetida a convecção em ambos os lados é metade de sua espessura total, que, nesse caso, é a altura do cilindro (2L). Assim:

L = ( 12   c m ) / 2   = 6   c m   = 0,06   m R = ( 2   c m ) / 2   = 1   c m   = 0,01   m

Vamos calcular o Número de Fourier (τ) para as duas geometrias em 5, 10 e 15 min.

Primeiro, para 15   m i n , ou seja, 300 s :

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R 2 =   ( 1,99 x 10 - 7   m ² / s ) 300 s 0,01   m 2 = 0,597

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 1,99 x 10 - 7   m ² / s ) ( 300 s ) ( 0,06   m ) ² = 0,017

Para 10   m i n (600 s ):

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R 2 =   ( 1,99 x 10 - 7   m ² / s ) 600 s 0,01   m 2 = 1,194

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 1,99 x 10 - 7   m ² / s ) ( 600 s ) ( 0,06   m ) ² = 0,033

E, por fim, para 15   m i n (900 s ):

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R 2 =   ( 1,99 x 10 - 7   m ² / s ) 900 s 0,01   m 2 = 1,791

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 1,99 x 10 - 7   m ² / s ) ( 900 s ) ( 0,06   m ) ² = 0,051

Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:

B i c i l i n d r o i n i f i t o =   h R k =   ( 680   W / m 2 . ° C ) ( 0,01   m )   0,76   W / m . ° C = 8,947  

B i p a r e d e p l a n a =   h L k =     ( 680   W / m 2 . ° C ) ( 0,06   m ) 0,76   W / m . ° C = 53,684  

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para ambas as geometrias para encontrar A 1 e λ 1   para as duas.

Para o cilindro infinito:

Como não há um valor tabelado para 8,947, podemos aproximar esse valor para B i = 9 e usar

λ 1 e A 1 sem erros muito grandes. Assim:

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 8,947   ≅ 9   →   λ 1 = 2,1566     A 1 = 1,5611

Para a parede plana:

Como não há um valor tabelado para   53,684 , , podemos aproximar esse valor para B i = 50 e usar λ 1 e A 1 sem erros muito grandes. Assim

B i p a r e d e p l a n a =   53,684   ≅ 50 →   λ 1 = 1,5400   A 1 = 1,2727

Passo 3

Agora a gente calcule a temperatura no centro do cilindro para cada um dos tempos pedidos no enunciado.

Bem, o centro do cilindro aqui é basicamente o ponto onde x = 0 e r = 0 , bastando que a gente substitua nas soluções adimensionais para cada uma das geometrias que eu te mostrei no passo anterior.

  • Para 5 m i n (300 s )
  • Resolvendo para o cilindro:

    ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,300 s = 1,5611 e - 2,1566   2 0,597 ⁡ J 0 ( 2,1566 ) 0 R = ( 0,0972 ) J 0 ( 0 )

    Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de J 0 ( 0 ) .

    Pela Tabela, J 0 0 = 1 . Sendo assim:

    ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,300 s = 0,0972 1 = 0,0972

    Resolvendo para a parede plana:

    ϴ p a r e d e p l a n a 0,300 s = 1,2727 e - 1,5400 2 0,017 ⁡ c o s ( 1,5400 ) 0 L = 1,22241

    Pois c o s ( 0 )   =   1 .

  • Para 10 m i n (600 s )
  • Resolvendo para o cilindro:

    ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,6 00 s = 1,5611 e - 2,1566   2 1,194 ⁡ J 0 ( 2,1566 ) 0 R = 0,00605

    Resolvendo para a parede plana:

    ϴ p a r e d e p l a n a 0,6 00 s = 1,2727 e - 1,5400 2 0,033 ⁡ c o s ( 1,5400 ) 0 L = 1,17689

  • Para 15 m i n (900 s )
  • Resolvendo para o cilindro:

    ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,9 00 s = 1,5611 e - 2,1566   2 1,791 ⁡ J 0 ( 2,1566 ) 0 R = 0,00038

    Resolvendo para a parede plana:

    ϴ p a r e d e p l a n a 0,9 00 s = 1,2727 e - 1,5400 2 0,051 ⁡ c o s ( 1,5400 ) 0 L = 1,12771

    Passo 4

    Para resolver a letra (a) basta multiplicar as soluções em cada tempo para encontrar o resultado para o cilindro curto:

  • Para 5 min
  • ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , 300 s = 0,0972 1,22241 = 0,11881

    Devemos lembrar, ainda, que

    T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o   → T 0,0 , 3 00   s - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , 3 00 s

    Sendo assim:

    T 0,0 , 3 00   s - 10 0   ° C 4   ° C - 10 0   ° C c i l i n d r o c u r t o =   0,11881 →     T 0,0 , 3 00   s = 88,59   ° C

  • Para 10 min
  • ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , 6 00 s = 0,00605 1,17689 = 0,00 71 2

    Logo:

    T 0,0 , 6 00   s - 100   ° C 4   ° C - 100   ° C c i l i n d r o c u r t o =   0,00712 →     T 0,0 , 6 00   s = 99,32   ° C

  • Para 15 min
  • ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , 9 00 s = 0,00038 1,12771 = 0,00 043

    Logo:

    T 0,0 , 9 00   s - 100   ° C 4   ° C - 100   ° C c i l i n d r o c u r t o =   0,00043 →     T 0,0 , 9 00   s = 100   ° C

    Passo 5

    Para resolver a letra (b) basta considerar as soluções adimensionais que calculamos apenas para o cilindro infinito e calcular a temperatura com elas:

  • Para 5 min
  • ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,300 s = 0,0972

    Devemos lembrar, ainda, que

    T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o =   ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o   → T 0,0 , 300   s - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o =   ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0 , 300 s

    Sendo assim:

    T 0 , 300   s - 100   ° C 4   ° C - 100   ° C c i l i n d r o i n f i n i t o =   0,0972 →     T 0 , 300   s = 90,66   ° C

  • Para 10 min
  • ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,6 00 s = 0,00605

    Logo:

    T 0 , 6 00   s - 100   ° C 4   ° C - 100   ° C c i l i n d r o i n f i n i t o =   0,00605 →     T 0 , 6 00   s = 99,41   ° C

  • Para 15 min

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,9 00 s = 0,00038

Logo:

T 0 , 9 00   s - 100   ° C 4   ° C - 100   ° C c i l i n d r o i n f i n i t o =   0,00038 →     T 0 , 9 00   s = 100   ° C

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