Enunciado

Considere novamente o campo de escoamento do Problema 5.65. Considere que o escoamento é incompressível com ρ = 1,23 kg/m3 e sem atrito. Suponha, ainda, que a velocidade vertical do fluxo de ar é ν0 = 15 mm/s, que a meia largura da cavidade é L = 22mm e a sua altura é h = 1,2 mm. Calcule o gradiente de pressão em (x, y) = (L, h). Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento dentro da cavidade

Passo 1

Pessoal, para fazer esta questão temos que pegar uma carona na resolução do problema 5.65.

Nos é dado que:

u = v 0 x h

Para descobrir a componente y da velocidade, devemos aplicar a expressão do fluido incompressível:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ v 0 x h ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - v 0 h

Então, para encontrar v:

v = ∫ ∂ v ∂ y d y + f ( x )

v = ∫ - v 0 h d y + f ( x )

v = - v 0 h y + f ( x )

Quando y = 0 ,       v = v 0 , então:

v 0 = - v 0 h ( 0 ) + f ( x )

f x = v 0

Encontramos então a expressão da componente y da velocidade:

v = v 0 1 - y h

A equação geral da velocidade é:

V → = v 0 x h   i ^ + v 0 1 - y h j ^

Passo 2

Após esta revisão da questão 5.65, vamos para o que pede este problema. O gradiente de pressão é determinado pela equação de Euler (6.1):

ρ g → - ∇ p = ρ D V → D t

∇ p = ρ g → - ρ D V → D t

Pela equação da aceleração da partícula:

D V → D t = u ∂ V → d x + v ∂ V → d y + w ∂ V → d z + ∂ V → d t

Pelas condições do enunciado:

∂ V → d t = 0 → r e g i m e   p e r m a n e n t e

∂ V → d x = ∂ u d x ;             ∂ V → d y = ∂ v d y ;           w ∂ V → d z = 0

Ficamos então com:

D V → D t = u ∂ u d x + v ∂ v d y

∇ p = ρ g → - ρ u ∂ u d x + v ∂ v d y

Abrindo a expressão acima e substituindo os valores de u e v:

∇ p = - ρ g j ^ - ρ v 0 x h ∂ v 0 x h d x + v 0 1 - y h ∂ v 0 1 - y h d y

∇ p = - ρ g j ^ - ρ v 0 x h v 0 h i ^ + v 0 1 - y h - v 0 h j ^

∇ p = - ρ v 0 2 x h 2 i ^ + v 0 2 h y h - 1 j ^ + g j ^

Passo 3

O gradiente de pressão no ponto x , y = ( L , h ) será:

∇ p = - ρ v 0 2 L h 2 i ^ + v 0 2 h h h - 1 j ^ + g j ^

∇ p = - ρ v 0 2 L h 2 i ^ + g j ^

Sabendo que L = 0,022 m ; h = 0,0012 m ;       ρ = 1,23 k g m 3 ;         v 0 = 0,015 m s ;    

∇ p = - 1,23 15 2 0,022 0,0012 2 i ^ + 9,81 j ^

∇ p = - 4,23 i ^ - 12,1 j ^

Passo 4

Para encontrar a equação das linhas de corrente usamos a seguinte relação:

d y d x = v u

Substituindo os valores:

d y d x = v 0 1 - y h v 0 x h = 1 - y h x / h

d y 1 - y h = d x x / h

Integrando:

∫ d y 1 - y h = ∫ d x x / h

- ln ⁡ 1 - y h = ln ⁡ x h + C

ln ⁡ 1 - y h + ln ⁡ x h = C

ln ⁡ x h 1 - y h = C

Aplicando exponencial dos dois lados, ficamos com:

x h 1 - y h = C

Resposta

∇ p = - 4,23 i ^ - 12,1 j ^

x h 1 - y h = C

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