Enunciado

A componente da velocidade na corrente de uma camada limite sobre placa plana permanente, incompressível, laminar e de espessura d é aproximada pela expressão linear simples, u = U y / δ para y < δ e u = U para y > δ (Figura P 10 - 83 ). Gere expressões para espessura de deslocamento e espessura do momento em função de δ , baseado nessa aproximação linear. Compare os valores aproximados de δ * / δ e θ / δ com os valores de δ * / δ e θ / δ obtidos na solução de Blasius.

Respostas: 0.500, 0.167

Passo 1

Sabendo que δ * representa a espessura de deslocamento nós vemos que na página 458 (da primeira edição desse livro em português ) que a expressão para a espessura de deslocamento aproximada se dá por:

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u U d y

Só que como a expressão para as condições dadas foram aproximadas para:

u = U y δ   p a r a   y < δ

Então podemos escrever que:

u U = y δ

E como a integral está em relação a y , é mais justo que tenhamos uma função em y nessa integral. Só que temos uma mudança de intervalo pois y está restrito entre 0 e δ , portanto a nova integral fica:

δ * = ∫ 0 δ 1 - y δ d y

Fazendo a integral temos:

δ * = y - y 2 2 δ 0 δ

δ * = δ - δ 2 = δ 2

Então:

δ * δ = 1 2

Passo 2

Já na página 461 (da primeira edição do livro em português) temos a definição da espessura do momento ( θ ) ,que concordo que é uma letra horrível para isso, que é dada por:

θ = ∫ 0 ∞ u U 1 - u U d y

Então aplicando a aproximação para y < δ :

θ = ∫ 0 δ y δ 1 - y δ d y

θ = ∫ 0 δ y δ - y 2 δ 2 d y

Fazendo essa integral temos:

θ = y 2 2 δ - y 3 3 δ 2 0 δ

Fazendo o intervalo:

θ = δ 2 - δ 3 = δ 6

Então:

θ δ = 1 6

Note que não nos interessa a condição para quando y > δ , pois estaremos fora da camada limite e a velocidade não se altera por isso, não tendo porque ter uma análise.

Passo 3

Agora vamos ver se essa aproximação foi boa, sabendo que a medida real da espessura do momento e a espessura do deslocamento são:

θ x = 0.664 R e x

δ * x = 1.72 R e x

Seguindo o exemplo 10-10 da primeira edição desse livro (onde ele assume u U = 0.999 , poderíamos supor qualquer relação, uma vez que encontraremos um relação entre o real e o teórico em qualquer posição dessa placa)nós temos que pela tabela de Blasius que:

δ x = 4.91 R e x  

Portanto dividindo uma pela outra temos:

δ * x δ x = 1.72 R e x 4.91 R e x

δ * δ = 1.72 4.91 = 0.35

Fazendo o mesmo raciocínio para a espessura do momento:

θ δ = 0.664 4.91 = 0.135

Então o erro causado será de:

e r r o δ * δ = | 0.5 - 0.35 | 0.35 = 43 %

e r r o θ δ = | 0.135 - 1 6 | 0.135 = 23 %

O que são erros bem grandes para u U = 0.999 , portanto a aproximação é ruim.

Resposta

δ * δ = 1 2 ; e r r o = 43 %

θ δ = 1 6 ; e r r o = 23 %

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