Enunciado

Considere novamente o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. (a) Liste as condições de contorno apropriadas sobre u . (b) Resolva a aproximação do escoamento lento da equação do momento na direção x para obter a expressão para u em função de y (e indiretamente como função de x através de h e d P / d x , que são funções de x ). Você pode supor que P não seja uma função de y . A sua expressão final deverá ser escrita como u x ,   y =   f ( y   ,   h , d P d x ,   V e   μ ) . Especifique as duas componentes distintas do perfil de velocidade no seu resultado, (c) Coloque a sua expressão na forma adimensional para u usando essas escalas apropriadas:

x * = x L   ,   y * = y h 0 ,   h * = h h 0 , u * = u V ,   e     P * = P - P 0 h 0 2 μ V L

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Vamos assumir primeiramente que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. Forças da gravidade são desconsideradas.

4. P não é função de y .

Letra a) A partir da figura associada ao problema 10-23, podemos enxergar e definir as condições de contorno (lembrando que y   ~   h 0 ):

Condição 1:

u = V   e m   y = 0 ,   p a r a   t o d o   x .

Condição 2:

u = 0   e m   y = h ,   p a r a   t o d o   x .

Observamos também que h não é uma constante, mas uma função de x , analisando a figura do problema 10-23.

Passo 2

Letra b) Escrevemos a equação fluxo dinâmico x momento e integramos uma vez em relação a y , observando que P não é uma função de y . Esta é uma integração parcial.

∂ ² u ∂ y ² = 1 μ d P d x               →       ∂ u ∂ y = 1 μ d P d x y + f 1 ( x )           ( 1 )      

Agora, fazendo a segunda integração:

u = 1 2 μ d P d x y 2 + y f 1 x + f 2 ( x )         ( 2 )    

Agora temos duas funções desconhecidas f 1 e   f 2 , porém temos as duas condições de contorno encontradas na letra a). Podemos utilizá-las para encontrar as funções desconhecidas. Assim:

Usando a condição de contorno 1:

V = 1 2 μ d P d x 0 2 + 0 f 1 x + f 2 x             → V = f 2 ( x )    

Usando a condição de contorno 2:

0 = 1 2 μ d P d x h 2 + h f 1 x + V             → f 1 ( x ) = - V - 1 2 μ d P d x h 2 h    

Enfim, substituindo as funções encontradas, temos que a Eq. 2 se torna:

u x , y = 1 2 μ d P d x y 2 + y ⋅ - V - 1 2 μ d P d x h 2 h + V  

Reorganizando termos:

u x , y = V 1 - y h + h 2 2 μ   d P d x y h   y h - 1                   ( 3 )  

Passo 3

Letra c) Já temos a função da velocidade u , adimensionalizando, de acordo com as relações mostradas no enunciado, temos:

u * = 1 - y * + h * 2 2 d P * d x * y * ( y * - 1 )

Resposta

Portanto:

Letra a) u = V   e m   y = 0 ,   p a r a   t o d o   x               ;       u = 0   e m   y = h ,   p a r a   t o d o   x .

Letra b) u x , y = V 1 - y h + h 2 2 μ   d P d x y h   y h - 1

Letra c)   u * = 1 - y * + h * 2 2 d P * d x * y * ( y * - 1 )

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