Enunciado

A componente de velocidade na direção da corrente da camada limite sobre placa plana permanente, incompressível, laminar e com espessura δ é aproximada pelo perfil de onda senoidal do Problema 10 - 85 . Gere expressões para a espessura de deslocamento e espessura do momento em função de δ , com base nessa aproximação da onda senoidal. Compare os valores aproximados de δ * / δ e θ / δ com os valores de δ * / δ e θ / δ obtidos pela solução de Blasius.

Passo 1

Lembrando como é a cara da aproximação senoidal:

u y ≈ U   s e n π y 2 δ para y < δ , e u = U para y ≪ δ

Agora é só repetir o que foi feito na questão 83 , onde sabemos que a definição da espessura de deslocamento δ * é dada por:

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u U d y

Onde u U = s e n π y 2 δ em um intervalo de 0 < y < δ , então:

δ * = ∫ 0 δ 1 - s e n π y 2 δ d y

Com ∫ s e n n y d y = - c o s ⁡ ( n y ) n   , então:

δ * = y + 2 δ π cos ⁡ π y 2 δ 0 δ

Aplicando o intervalo nós temos:

δ * = δ + 2 δ π cos ⁡ π 2 - c o s ⁡ ( 0 )

δ * = δ - 2 δ π = δ 1 - 2 π

δ * = 0.363 δ

Passo 2

Agora a espessura do momento (que está na página 461 da primeira edição) é dada por:

θ = ∫ 0 ∞ u U 1 - u U d y

Então substituindo u U = s e n π y 2 δ , nós temos:

θ = ∫ 0 ∞ s e n π y 2 δ - s e n 2 π y 2 δ

Agora temos a integral de s e n 2 x que pode ser interpretada como a união das duas equações trigonométricas abaixo:

cos 2 ⁡ z + s e n 2 z = 1

cos 2 ⁡ z - s e n 2 z = cos ⁡ 2 z

Com z sendo uma variável qualquer.

Subtraindo a primeira equação da segunda:

2 s e n 2 z = 1 - cos ⁡ 2 z

s e n 2 z = 1 2 - cos ⁡ 2 z 2

Então a nossa integral fica , com z = π y 2 δ :

θ = ∫ 0 ∞ s e n π y 2 δ - 1 2 + cos ⁡ 2 ⋅ π y 2 δ 2 d y

Cuidado com o sinal pois temos - s e n 2

Então a nossa integral fica

θ = - 2 δ π cos ⁡ π y 2 δ - y 2 + 1 2 ⋅ δ π s e n π y δ 0 δ

Aplicando a substituição:

θ = - 2 δ π cos ⁡ π 2 - δ 2 + 1 2 ⋅ δ π s e n π 2 + 2 δ π cos ⁡ 0 + δ 2 π s e n ( π )

θ = δ - 1 2 + 2 π

Ou:

θ = 0 . 137 δ

Passo 3

Agora vamos analisar os erros:

Sabemos que pela solução de Blausius as relações para escoamento laminar que:

θ x = 0.664 R e x ;

δ * x = 1.72 R e x

δ x = 4.91 R e x

Isso pode ser visto na tabela 10 - 4 na página 463 da primeira edição desse livro.

Dividindo a segunda equação pela terceira nós iremos obter:

δ * δ = 1.72 4.91 = 0.35

E agora dividindo a primeira equação pela terceira:

θ δ = 0.664 4.91 = 0.135

Essas relações para a solução de Blausius (que é a mais certeira), agora vendo o erro se comparada com o modelo senoidal nós iremos obter:

e r r o δ * δ = | 0.363 - 0.35 | 0.35 = 3.7 %

e r r o θ δ = | 0.137 - 0.135 | 0.135 = 1.5 %

O que são erros bem menores do que o da aproximação linear da questão 83.

Resposta

δ * δ = 0.363 ; e r r o = 3.7 %

θ δ = 0.137 ; e r r o = 1.5 %

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a velocidade à qual você precisaria nadar na água à temperatura ambiente para estar em regime de escoamento lento. (Uma estimativa da ordem de grandeza será suficiente.) Discuta.
Na derivação de uma equação de Bernoulli para regiões de escoamento sem viscosidade, usamos a identidade vetorial: V → ⋅ ∇ → V → = ∇ → V 2 2 - V → x( ∇ →xV → ) Mostre que essa identidade vetorial é sa
Combine os resultados dos Problemas 10-26 e 10-28 para mostrar que para um mancal de bloco deslizante bidimensional, o gradiente de pressão d P / d x está relacionado com a altura h do espaçamento por
Considere novamente o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. Faça uma análise de ordem de grandeza na equação do momento y e escreva a forma final da equação do momento y . (Sugestão: Você prec
Um bom nadador nada 100 m em aproximadamente 1 minuto. Se o corpo do nadador tiver 1,8 m de comprimento, quantos comprimentos equivalentes ao seu corpo ele nada por segundo? Repita o cálculo para o es