Enunciado

Considere novamente o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. Faça uma análise de ordem de grandeza na equação do momento y e escreva a forma final da equação do momento y . (Sugestão: Você precisará dos resultados dos Problemas 10-23 e 10-24.) O que você pode dizer sobre o gradiente de pressão ∂ P / ∂ y ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O problema pede que analisemos a ordem de grandeza na equação do momento y .

Assim, vamos assumir que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. Forças da gravidade são desconsideradas.

Analisamos as ordens de magnitude de cada termo na equação constante, bidimensional, incompressível e sem gravidade. Assim, lembrando da equação do momento encontrada no problema anterior, aplicando para o momento em y :

ρ u ∂ v ∂ x + ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ v ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + μ ∂ 2 v ∂ y 2             ( 1 )  

E mais uma vez substituindo os termos proporcionais e as expressões equivalentes encontradas nos problemas 10-23 e 10-24, temos:

ρ V 2 h 0 L ² + ρ V 2 h 0 L ²   ≈ - μ V L h 0 3 + μ V h 0 L 3 + μ V L h 0         ( 2 )  

Passo 2

Mais uma vez, implicamos que primeiro termo viscoso da Eq. 2 é muito menor que o segundo termo viscoso desde h 0 < < L . Multiplicamos a ordem de magnitude de todos os termos restantes por L ² / ( ρ V 2 h 0 ) para comparar termos:

ρ u ∂ v ∂ x + ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ P ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ y 2                                     ( 3 )

E suas respectivas ordens de magnitude:

1 + 1 = μ ρ V h 0 L h 0 3 + μ ρ V h 0 L h 0                               → 1 + 1 = 1 R e L h 0 3 + 1 R e L h 0               ( 4 )

Obs: Reconhecemos o número de Reynolds como R e   =   ρ V h 0 / μ .

Passo 3

Assim, como a pressão e os termos viscosos contêm o produto de 1 / R e , que é grande para fluxo rastejante, e L / h 0   , que também é grande, é claro que os termos inerciais (lado esquerdo da Eq. 4) são insignificantemente pequenas em comparação com a pressão e os termos viscosos.

Isso é esperado, é claro, para o escoamento lento. Agora analisemos a pressão e os termos viscosos. Ambos contêm 1 / R e , mas o termo pressão possui um fator adicional de L h 0 2 , que é muito grande. Assim, o termo pressão é o único termo restante na Eq. 4.

Como pode ser isso?

Relaxa, como não há termos que pode equilibrar o termo pressão, o próprio termo pressão deve ser muito pequeno. Em outras palavras, a equação do momento y   reduz a:

∂ P ∂ y = 0

Em outras palavras, a pressão no problema do mancal é uma função de x , mas uma função muito fraca e desprezível de y .

Resposta

Portanto, deduzimos que ∂ P ∂ y = 0

E a equação do momento em y :

ρ u ∂ v ∂ x + ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ P ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um líquido viscoso de ρeμ constantes cai por causa da gravidade entre duas placas separadas por uma distância 2h, como na Figura P4.37. O escoamento é totalmente desenvolvido, com um único componente
Mostre que a distribuição de escoamento incompressível, em coordenadas cilíndricas, v r = 0v θ = C r n v z = 0 em que C é uma constante, (a) satisfaz a equação de Navier-Stokes para apenas dois valore
Se z é “para cima”, quais são as condições das constantes a e b para as quais o campo de velocidade u = a y , v = b x , w = 0 é uma solução exata das equações da continuidade e de Navier-Stokes para e
Do Problema P4.15, o escoamento puramente radial em coordenadas polares que satisfaz a continuidade é v r = f ( θ ) / r , em que f é uma função arbitrária. Determine quais as formas particulares de f
Das equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível em coordenadas polares (Apêndice D para coordenadas cilíndricas), encontre o caso mais geral de movimento puramente circulatório v θ r ,v r