Enunciado

A comporta mostrada na figura tem 3 m de largura e, para fins de análise, pode ser considerada sem massa. Para qual profundidade de água esta comporta retangular ficará em equilíbrio como mostrado?

Passo 1

No problema, temos o portão mostrado com largura fixa de 3 metros (chamaremos de b ). Podemos dizer que a parte de baixo do portão é insignificante e que o mesmo está em equilíbrio.

Para resolvermos, precisamos encontrar a profundidade da água e para isso aplicaremos as equações hidrostáticas neste sistema, são elas

d p d h = ρ g , referente a pressão hidrostática ( h é positivo para baixo)

∑ M z = 0 , equilíbrio rotacional

F R = p c A , força hidrostática

y ' = y c + I x x A   y c , a localização da linha de ação

Fazemos algumas considerações: fluido estático; fluido incompressível; A pressão atmosférica atua na superfície livre da água e fora do portão.

O diagrama que representa esse sistema é o seguinte:

Passo 2

O ponto inicial é dado integrando a equação da pressão hidrostática:

F R = p c A                 ∴         F R = ρ g h c A    

Nesse caso, a altura é a metade de d , ou seja, h = d 2 e a área é A = b d sin ⁡ θ . Logo,

F R = ρ g b d 2 2 sin ⁡ θ    

Para encontrar a linha de força, temos

y ' = y c + I x x A   y c , onde I x x = b l 3 12

onde l é o comprimento do portão em contato com a água (conforme o diagrama). Logo,

y ' = y c + b l 3 12 b l   y c = y c + l 2 12   y c

Dessa forma, l e d se relacionam, logo,

l = d sin ⁡ θ

Portanto,

y c = 1 2 = d 2 sin ⁡ θ

Assim, substituindo na formula da linha de força, obtemos

y ' = d 2 sin ⁡ θ + d 2 sin ⁡ θ 2 × 2 sin ⁡ θ 12   d

y ' = 2 d 3 sin ⁡ θ

Passo 3

Feito todas essas analises podemos avaliar as forças do diagrama mostrado no inicio (tendo cuidado com os sinais),

T L - l - y ' F R = 0

Onde T = m g .

Isolamos, então l

l = d sin ⁡ θ = M g L F R + y '

Assim, colocamos em evidencia a variável d :

d = 2 M g L ρ g b d 2 × sin ⁡ θ + 2 d 3 sin ⁡ θ

d 3 = 2 M L sin ⁡ θ 2 ρ b d 2

Logo,

d = 6 M L sin ⁡ θ 2 ρ b 1 3

Substituindo os dados, vamos obter o seguinte resultado:

d = 6 × 2500   k g × 5   m   sin ⁡ 60 ° 2 999 k g m 3 × 3   m 1 3 = 2,66   m

Prontinho!!

Resposta

d = 2,66   m

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