Enunciado

A comporta AB tem 1,5 m de largura e abre para permitir a saída de água doce quando a maré do oceano estiver abaixando. A articulação em A está 0,6 m acima do nível de água doce. Em qual nível h do oceano a comporta abrirá? Despreze o peso da comporta.

Passo 1

A primeira coisa que precisamos entender aqui é que se você se ligar, vamos ter duas forças hidrostáticas atuando sobre a comporta AB, certo? Mas elas terão altura de atuação, h C G , diferentes porque possuem alturas de coluna de fluido diferentes, beleza?

Vamos então começar calculando a força hidrostática do lado da água doce, que aqui eu vou colocar o subíndice e “ad”.

F a d = ρ g h C G a d A

Para uma placa plana, o centroide dela será na metade do seu comprimento, logo h C G = 1,5   m .

Assim, temos:

F a d = 979 x 10 x 1,5 x 3 x 1,5 = 66082   N

Passo 2

Agora vamos calcular a força hidrostática do lado da água do mar, mas antes vamos passar já a densidade relativa para absoluta!!!

ρ a m = d x ρ a d = 1,025   x   979 = 1003,475   k g / m ³

Então podemos calcular a força hidrostática que atua na comporta, lembrando que a altura utilizada na fórmula abaixo é metade da altura da placa que está submersa no fluido.

F a m = ρ g h C G a m A = 1003,475   x   10   x   h 2 1,5 h = 7526 h 2

Passo 3

Bem, agora que lá vamos nós olhar para a figura novamente!!!

A gente então percebe que se formos calcular os momentos em torno do ponto B, vamos precisar saber a distância que as forças estão atuando em seus centros de pressão.

A gente pode ir por um caminho mais fácil aqui ao invés de precisar resolver a equação de y C P . Sabemos que para uma placa plana, seu centro de pressão equivale a 1/3 do seu comprimento submerso. Então você vai concordar comigo que, olhando para o desenho acima, a altura que a força do lado da água salgada tem distância de (3+0,6 – h/3).

d a m = 3,6 - h 3

Para a água doce, temos qual distância de A até o centro de pressão? Bem, a altura total é de 3,6 m, beleza? Mas como vimos, o centro de pressão deve estar a 1/3 do comprimento submerso da placa, ou seja, se 3 metros de placa estão submersos, 1/3 x 3 = 1m.

Logo, d a d = 3,6 - 1 = 2,6   m

Passo 4

Feito isso, podemos escrever nosso somatório de momento em torno de B:

∑ M B = F a m d a m - F a d d a d = 7526 h 2 3,6 - h 3 - 66082   x   2,6 = 0

Resolvendo para h temos que:

h = 3   m

Resposta

h = 3   m

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