Enunciado

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Condução unidimensional, em regime estacionário e sem geração interna de energia, está ocorrendo em uma parede plana com condutividade térmica constante.

  1. A distribuição de temperaturas mostrada no gráfico é possível? Explique sucintamente seu raciocínio.
  2. Com a temperatura em x = 0 e a temperatura do fluido fixas em T ( 0 ) = 0 ° C e T ∞ = 20 ° C , respectivamente, calcule e represente graficamente a temperatura em x = L , T ( L ) , como uma função de h para 10 ≤ h ≤ 100   W / ( m ²   .   K ) . Explique sucintamente os seus resultados.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver questõezinhas!

Bom, o nosso enunciado nos dá duas letrinhas para resolver… Pra isso ele nos dá um gráfico de apoio que mostra uma distribuição linear da temperatura em relação a parede, junto com os seguintes dados:

q = 0 k = 4,5   W / ( m   .   K ) T ∞ = 20 ° C

h = 30 W / ( m ²   .   K ) L = 0,18   m

Com esses dados, partiu responder cada letra, beleza?

Passo 2

A letra a, quer saber se essa distribuição linear da temperatura, que o gráfico mostra pra gente, é possível…

Para esse comportamento ser possível tem que válido o seguinte:

q c o n d u ç ã o " - q c o n v e c ç ã o " = 0

Opa! Então vamos fazer essa conta para testar, primeiro com o fluxo de calor de condução:

q c o n d u ç ã o " =   - k   .   d T d x

q c o n d u ç ã o " =   - k   .   T ( L )   -   T ( 0 ) L

q c o n d u ç ã o " =   - 4,5   .   120   -   0 0,18

q c o n d u ç ã o " =   - 3000   W / m ²

Agora vamos achar o fluxo de calor na convecção:

q c o n v e c ç ã o " = h   .   T ( L ) - T ∞

q c o n v e c ç ã o " = 30   .   120 - 20

q c o n v e c ç ã o " = 3000   W / m ²

Ops! Tem algo aí que não se encaixa, hein?

Olha só:

q c o n d u ç ã o " - q c o n v e c ç ã o "

- 3000 - 3000 =   - 6000   W / m ²

Não deu zero! Então a distribuição de temperatura do gráfico não é possível!

Passo 3

Agora vamos para a letra b! O nosso enunciado quer que a gente calcule e represente graficamente a temperatura em x = L como uma função de h , sabendo que:

T ( 0 ) = 0 ° C T ∞ = 20 ° C 10 ≤ h ≤ 100   W / ( m ²   .   K )

Podemos achar a temperatura T ( L ) partindo do mesmo princípio do passo anterior, fazendo assim olha só:

q c o n d u ç ã o " - q c o n v e c ç ã o " = 0

- k   .   T ( L )   -   T ( 0 ) L -   h   .   T ( L ) - T ∞ = 0

- k   .   T ( L ) L + k   .   T ( 0 ) L -   h   .   T ( L )   +   h   .   T ∞ = 0

- k   .   T ( L ) L -   h   .   T ( L ) =   - k   .   T ( 0 ) L -   h   .   T ∞

Já que está todo mundo negativo, vamos multiplicar por ( - 1 ) para facilitar nossos cálculos, ok?

k   .   T ( L ) L +   h   .   T ( L ) =   + k   .   T ( 0 ) L +   h   .   T ∞

4,5   .   T ( L ) 0,18 +   30   .   T ( L ) =   + 4,5   .   0 0,18 +   30   .   20

T ( L ) = 10,9 ° C

Beleza! Encontramos o T ( L ) ! Agora partiu plotar o gráfico dele em relação ao coeficiente de convecção, vamos nessa?

Prontinho! Conseguimos, arrasamos!!

Resposta

  1. A distribuição de temperatura do gráfico não é possível, pois q c o n d u ç ã o " - q c o n v e c ç ã o " ≠ 0 .
  2. T ( L ) = 10,9 ° C .

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