Enunciado

Em uma camada plana de carvão, com espessura L = 1   m , ocorre geração volumétrica uniforme a uma taxa q = 20 W / m ³ devido à lenta oxidação de partículas de carvão. Com base em valores médios diários, a superfície superior da camada transfere calor por convecção para o ar ambiente, no qual h = 5 W / ( m ²   .   K ) e T ∞ = 25 ° C , enquanto recebe irradiação solar em uma quantidade G S = 400   W / m ² . Irradiação a partir da atmosfera pode ser desprezada. A absortividade em relação aos raios solares e a emissividade da superfície são, cada uma, α S = ε = 0,95 .

  1. Escreva a forma para o regime estacionário da equação da difusão térmica para a camada de carvão. Verifique se essa equação é satisfeita pela distribuição de temperaturas com a forma.
  2. A partir dessa distribuição, o que você pode dizer sobre as condições existentes na superfície inferior ( x = 0 ) ? Esboce a distribuição de temperaturas e aponte suas principais características.

  3. Obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução, por unidade de área, em x = L . Aplicando um balanço de energia em uma superfície de controle ao redor da superfície superior da camada, obtenha uma expressão para T s . Calcule T s e T ( 0 ) para as condições especificadas.
  4. Os valores médios diários de G S e h dependem de uma série de fatores, tais como o período do ano, nebulosidade e condições do vento. Para h = 5   W / ( m ²   .   K ) , calcule e represente graficamente T s e T ( 0 ) em função do valor de G S para 50 ≤ G S ≤ 500   W / m ² . Para G S = 400   W / m ² , calcule e represente graficamente T s e T ( 0 ) em função de h para 5 ≤ h ≤ 50   W / ( m ²   .   K ) .

Passo 1

Fala aí! Cara, foca no tamanho dessa questão… Dá até vontade de fugir!

Relaxa! A gente consegue resolver isso juntos!

Bom, o nosso enunciado está dividido em três letrinhas para resolver… Vamos ver cada uma delas com atenção, beleza?

Passo 2

A letra a, pede pra gente a partir da distribuição de temperatura dada por:

T ( x ) = T s + q   .   L ² 2   .   k   .   1 - x ² L ²

Falar sobre as condições existentes na superfície inferior onde: x = 0 … E além disso pede pra colocar em um gráfico a distribuição de temperatura...

Bom, vamos começar! Se estamos tratando de uma condução unidimensional, podemos usar a equação da difusividade hidráulica:

q =   - k   .   d T ² d ² x

d d x   .   d T d x +   q k = 0

d d x   .   d T s + q   .   L ² 2   .   k   .   1 - x ² L ² d x +   q k = 0

d d x   .   0 + q   .   L ² 2   .   k   .   0 - 2 x L ² +   q k = 0

q   .   L ² 2   .   k   .   - 2 L 2 +   q k = 0

Olha só, chegamos a conclusão de que para qualquer que seja o valor de x a equação é satisfeita, show?

Vamos continuar, pois a letra a ainda não acabou…

Passo 3

Vamos então plotar o gráfico que nos mostra o comportamento da temperatura com nossos valores de x , beleza?

q x " =   - k   .   d T d x

q x " =   - k   .   0 + q   .   L ² 2   .   k   .   0 - 2 x L ²

q x " =   - k   .   q   .   L ² 2   .   k   .   2 x L ²

Quando x = 0 vamos ter: q x " = 0 , show?

Vamos ter então:

Passo 4

Agora vamos para a letra b! O nosso enunciado quer que a gente calcule T s e T ( 0 ) … Vamos partir do balanço de energia:

E e n t r a d a - E s a í d a + E g = 0

q   .   L - h   .   ( T s - T ∞ ) + ( 0,95   .   G S )   -   ( ε   .   σ   .   T s 4 ) = 0

q   .   L - h   .   T s +   h   .   T ∞ + 0,95   .   G S   -   ε   .   σ   .   T s 4 = 0

q   .   L +   h   .   T ∞ + 0,95   .   G S = h   .   T s +   ε   .   σ   .   T s 4

5   .   T s   + 0,95   .   5,67   .   10 - 8   .   T s 4 = 20   .   1 + 5   .   298 + 0,95   .   400

5   .   T s   + 0,95   .   5,67   .   10 - 8   .   T s 4 = 20   .   1 + 5   .   298 + 0,95   .   400

5 . T s + 5,39   .   10 - 8 . T s 4 = 1890

T s = 295,7   K

ou

T s = 22,7 ° C

Passo 3

Tá faltando encontrar o T ( 0 ) , então partiu achar ele:

T ( 0 ) = T s + q   .   L ² 2   .   k

T ( 0 ) = 22,7 + 20   .   1 ² 2   .   0,26

T ( 0 ) = 61,1 ° C

Prontinho! Estamos quase lá! Só falta a última letrinha!

Passo 4

Na letra c, precisamos fazer dois gráficos um que represente T s e T ( 0 ) em função do G S , e outro em função de h , sabendo que temos:

50 ≤ G S ≤ 500   W / m ² 5 ≤ h ≤ 50   W / ( m ²   .   K )

Vamos plotar então, sendo a curva azul correspondente a T s , e a curva verde correspondente a T ( 0 ) :

Resposta

  1. Para qualquer que seja o valor de x a equação da difusividade hidráulica é satisfeita.
  2. T s = 22,7 ° C e T ( 0 ) = 61,1 ° C .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura é mostrada a seção transversal de um elemento combustível cilíndrico longo em um reator nuclear. Geração de energia ocorre uniformemente no bastão combustível de tório, que possui diâmetro D
Um elemento combustível de um reator nuclear é constituído por um bastão cilíndrico maciço de raio r 1 e condutividade térmica k c . O bastão combustível encontra-se em perfeito contato com um materia
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k ≈ 57 W/(m · K)) encontra-se envolto em grafite (k
Em um longo bastão cilíndrico, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica de 0,5 W/(m · K), há geração volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24.000 W/m³. O bastão está encapsulado por uma lu
Um material radioativo com condutividade térmica k é moldado como uma esfera sólida de raio r e e colocado em um banho líquido, no qual a temperatura T ∞ e o coeficiente convectivo h são conhecidos. C