Enunciado

Condutores elétricos, na forma de placas paralelas com comprimento L = 40 mm, têm uma aresta fixada a uma base cerâmica isolada termicamente e são espaçados entre si por uma distância w   =   10   m m . As placas estão expostas a uma grande vizinhança isotérmica a T v i z =   300   K . As superfícies do condutor (1) e da cerâmica (2) são difusas e cinzas, com emissividades ε 1   =   0,8 e ε 2 =   0,6 , respectivamente. Para uma dada corrente de operação nos condutores, sua temperatura é T 1 =   500   K .

  1. Determine a potência elétrica dissipada em uma placa condutora por unidade de comprimento (normal à página), considerando apenas a troca de calor por radiação. Qual é a temperatura da base isolada, T 2 ?
  2. Determine e T 2 quando há transferência de calor por convecção nas superfícies com uma corrente de ar a 300 K, com um coeficiente de transferência de calor h   =   25 W m 2 K .

Passo 1

Shoow de bola galerinhaaa !!

Vamos continuar?

Bom galera, nós queremos achar a potência elétrica fornecida , certo?

Neste caso, para a radiação deixando a superfície condutora (1):

q 1 , r a d = E b , 1 - E b , 2 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 13 + 1 A 1 F 12 + 1 A 3 F 32 - 1 + 1 - ε 3 ε 3 A 3

As potências emissivas nós sabemos calcular, não é?

E b 1 = σ T 1 4

E b 3 = σ T 3 4

Como a superfície (3) é o ambiente:

E b 3 = J 3 = σ T 3 4

ε 3 = 1

Substituindo:

q 1 , r a d = σ T 1 4 - T 3 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 13 + 1 A 1 F 12 + 1 A 3 F 32 - 1

Vamos ver o que sabemos?

T 1 =   500   K

T 3 =   300   K

ε 1   =   0,8

ε 2 =   0,6

σ = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4

A área nós também sabemos, não é?

A 1 = 2 L l = 2 × 0,04 l = 0,08   m l

A 3 = w l = ( 0,01   m ) l

Achamos quase tudo, mas ainda não temos os fatores de forma!!

Passo 2

Olhando a figura abaixo para achar o fatore de forma entre (2) e (3):

Sabendo que:

L = 4 0   m m

X = w = 1 0   m m

E neste caso:

Y = ∞

Então:

X L = 1 0   m m 4 0   m m = 0,25

Y L = ∞ 3

Olhando no gráfico:

F 3 2 = 0 , 12

Aplicando a soma para a superfície 3:

F 32 + F 31 = 1

F 31 = 0,877

Pela reciprocidade:

A 1 F 13 = A 3 F 31

F 13 = 0,01 l 0,08 l 0,877

F 1 3 = 0 , 1096

Por simetria:

F 12 = 0,1096

Então agora é só substituir:

q 1 ,   r a d = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 5 00 4 - 3 00 4 K 4 1 - 0 , 8 0,8 0,08 l + 1 0,08 l 0 , 1096 + 1 0,08 l 0 , 1096 + 1 0,0 l 0 , 1 23 - 1

Reorganizando:

q ' 1 = q 1 ,   r a d l = 29,44 W m

Passo 3

Mas ainda precisamos da temperatura em 2, certo? Assumindo que:

E b , 2 = J 2 = σ T 2 4

Para achar J 2   vamos usar a relação que já sabemos:

q ' 1 = E b , 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1

Substituindo as potências:

q ' 1 = σ T 1 4 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1

Neste caso:

A 1 = 0,08   m

A 2 = 0,01   m

Substituindo:

29,44 W m = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 500 4 K 4 - J 1 1 - 0,8 0,8 0,08 m

J 1 = 3452 W m 2

Nós ainda não temos J 2 , certo? Mas existe uma relação que podemos usar, a equação 13.31:

J 2 = J 1 A 1 F 12 + J 3 A 3 F 32 A 1 F 12 + A 3 F 32 = J 1 A 1 F 12 + σ T 3 4 A 3 F 32 A 1 F 12 + A 3 F 32

Substituindo tudo:

J 2 = 3452 W m 2 0,08   m 0,1096 + 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 300 4 K 4 0,01   m 0,1231 0,08   m 0,1096 + 0,01   m 0,1231

J 2 = 3060 W m 2

Agora basta achar a temperatura:

3060 W m 2 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 T 2 4

T 2 = 482   K

Passo 4

Na letra (b) queremos achar a T 2 quando há transferência de calor por convecção nas superfícies com uma corrente de ar a 300 K, com um coeficiente de transferência de calor h   =   25 W m 2 K , ok?

Então neste caso, o calor que entra por radiação irá ser transferido por convecção e radiação:

q ' e n t r a = q ' c v ,   1 + q ' 1

Substituindo:

q ' 1 ,   e n t r a = h A 1 T 1 - T ∞ + σ T 1 4 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1

Como nós não temos J 1 nem J 2 vamos precisar lembrar que:

σ T 1 4 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

Substituindo o que sabemos:

5,67 × 10 - 8 500 4 - J 1 1 - 0,8 0,8 0,08 = J 1 - J 2 1 0,08 0,1096 + J 1 - 5,67 × 10 - 8 300 4 1 0,08 0,1096               ( 1 )

Agora, como a superfície 2 é isolada:

q ' 2 ,   e n t r a = 25 0,01 T 2 - 300 + 5,67 × 10 - 8 T 2 4 - J 2 1 - 0,6 0,6 0,01 = 0               ( 2 )

Como temos três variáveis vamos precisar de três equações, então podemos usar:

σ T 2 4 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2 = J 2 - J 1 1 A 2 F 21 + J 2 - J 3 1 A 2 F 23

Substituindo:

5,67 × 10 - 8 T 2 4 - J 2 1 - 0,6 0,6 0,01 = J 2 - J 1 1 0,01 0,1096 + J 2 - 5,67 × 10 - 8 300 4 1 0,01 0,1231             ( 3 )

Resolvendo as três equações simultaneamente:

J 1 = 3517 W m 2

J 2 = 1745 W m 2

T 2 = 352   K

Colocando tudo isso no calor que entra:

q ' 1 ,   e n t r a = 25 0,08 500 - 300 + 5,67 × 10 - 8 500 4 - 3517 1 - 0,8 0,8 0,08

q ' 1 ,   e n t r a = 441 W m

E é isso aí galerinha, bora seguir ??

Resposta

  1. q " 1 = 29,44 W m     |     T 2 = 482   K
  2. q " e n t r a = 441 W m     |     T 2 = 352   K
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