Enunciado

Considere um aquecedor cuja resistência é um fio longo de raio r 1 = 0,3   c m e condutividade térmica k f i o = 18   W / m ⋅ K , no qual o valor é gerado uniformemente a uma taxa de e ˙ g e r = 4,8   W / c m 3 como resultado do aquecimento devido à resistência do fio. O fio está envolto por uma camada de plástico de 0,4 cm de espessura cuja condutividade térmica é k p l á s t i c o = 1,8   W / m ⋅ K . A superfície externa da camada plástica perde calor por convecção para o ar ambiente a uma temperatura T ∞ = 25   ° C , com coeficiente médio de transferência de calor combinado h = 14   W / m 2 ⋅ K . Assumindo uma transferência de calor unidimensional e permanente, determine as temperaturas no centro do fio de resistência e na camada de interface fio e plástico.

Passo 1

Vamos lá! Nosso ponto de partida é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!

Temos um problema que envolve condução de calor em dois materiais diferentes, mas ambos de formato cilíndrico. Portanto, iremos utilizar o sistema de coordenadas cilíndrico.

Será necessário resolver a equação de condução de calor para cada um dos materiais. Por causa disto, vamos começar pelo fio. Ele está sujeito a condução unidimensional em regime permanente, com geração de calor e com condutividade térmica constante. Portanto, temos a seguinte equação diferencial que rege a condução de calor para o nosso problema:

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k f i o = 0

Além disto, é necessário descrevermos as condições de contorno para o fio. Sabendo que no seu centro não há condução de calor e que a temperatura na interface é uma temperatura T i , a qual queremos (e vamos!) descobrir. Portanto, as condições de contorno são:

T r 1 = T i = - 183   ° C

- k f i o ∂ T ∂ r r = 0 = 0

Passo 2

Agora, precisamos resolver a EDO com as condições discutidas no passo anterior. Integrando a nossa EDO, temos:

1 r d d r r d T d r = - e ˙ g e r k f i o

r d T d r = - e ˙ g e r 2 ⋅ k f i o r 2 + C 1

Substituindo a condução de contorno que nos diz que não há condução de calor no centro do fio, descobrimos que C 1 = 0 . Continuando a resolver a EDO, temos:

d T d r = - e ˙ g e r 2 ⋅ k f i o r

T r = - e ˙ g e r 4 ⋅ k f i o r 2 + C 2

Substituindo a outra condição de contorno, temos:

T r 1 = - e ˙ g e r 4 ⋅ k f i o r 1 2 + C 2 + T i

C 2 = T i + e ˙ g e r 4 ⋅ k f i o r 1 2

Portanto, a distribuição de temperatura no fio é:

T r = e ˙ g e r 4 ⋅ k f i o r 1 2 - r 2 + T i

Bom, por enquanto precisamos parar por aqui, pois quem é a temperatura T i . Agora, vamos partir para resolução da equação de condução de calor na parte plástica.

Passo 3

Então vamos lá! Se queremos resolver a questão de condução de calor na parte plástica, basicamente será necessário repetir todo o procedimento que fizemos nos passos anteriores.

Começaremos então relembrando, ou melhor, ditando as hipóteses para a condução nesta camada! Nela temos condução de calor unidimensional em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica constante. Desta forma, temos a seguinte EDO:

1 r d d r r d T d r = 0

E em relação as condições de contorno? Sabemos que na superfície externa temos a presença de convecção. Portanto, temos:

- k p l á s t i c o ∂ T ∂ r r = r 2 = h T r 2 - T ∞

E as outras condições? Elas estão relacionadas a superfície interna. Apesar de termos uma interface com materiais diferentes, a função temperatura é contínua neste ponto. Portanto, a temperatura e a taxa de transferência de calor em ambos os lados são iguais entre si! Sendo assim, temos as seguintes condições:

- k f i o ∂ T ∂ r r = r 1 = - k p l á s t i c o ∂ T ∂ r r = r 1

T f i o r 1 = T p l á s t i c o r 1 = T i

Logo, vamos resolver a nossa EDO e aplicar as condições. Integrando a EDO, temos:

1 r d d r r d T d r = 0 ⟹ d d r r d T d r = 0

r d T d r = C 1 ⟹ d T d r = C 1 r

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

Agora, vamos aplicar as condições de contorno ao nosso problema. Começando pela continuidade do fluxo de calor nas superfícies, temos:

k f i o e ˙ g e r 2 ⋅ k f i o r 1 = - k p l á s t i c o C 1 r 1

C 1 = - k f i o k p l á s t i c o ⋅ e ˙ g e r 2 ⋅ k f i o ⋅ r 1 2 = - 18 1,8 ⋅ 4,8 ⋅ 10 6 2 ⋅ 18 ⋅ 0,003 2 = - 12

Agora, vamos utilizar a convecção na superfície externa. Logo,

- k p l á s t i c o C 1 r 2 = h C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 - T ∞

C 2 = T ∞ - C 1 ln ⁡ r 2 + k p l á s t i c o h r 2 = 25 + 12 ln ⁡ 0,007 + 1,8 14 ⋅ 0,007 = 185,9

Momento importante este que fizemos! Muito cuidado na hora de calcularem quem é o raio externo!!! Percebam que ele é o raio interno + espessura da camada (0,4 cm). Sempre tomem muito cuidado quando estamos falando de camadas externas. Sempre é uma pegadinha!

Agora, podemos obter a distribuição de temperatura na parte plástica. Ela é:

T r = - 12 ln ⁡ r + 185,9

Agora sim! Estamos mais próximos do fim do que do início! Já podemos calcular a temperatura na interface dos dois materiais, e assim descobrir quem é T i ! Basta substituirmos r = r 1 = 0,003   m na fórmula anterior. Logo,

T 0,003 = T i = 255,6   ° C

Passo 4

O passo anterior foi bem grande mesmo! Vamos finalizar a questão então?

Vamos calcular a temperatura no centro do fio. Para isto, vamos ter de voltar até o final do Passo 2, onde conseguimos a distribuição de temperatura no fio. Relembrando, temos:

T r = e ˙ g e r 4 ⋅ k f i o r 1 2 - r 2 + T i

Como queremos a temperatura no centro do fio, basta calcular quando r = 0 . Substituindo todos os valores das constantes, temos:

T 0 = 4,8 ⋅ 10 6 4 ⋅ 18 0,003 2 - 0 2 + 255,6

T 0 = 256,2   ° C

Finalmente! Conseguimos terminar está “pequena” questão!

Resposta

A temperatura na interface é:

T 0,003 = T i = 255,6   ° C

A temperatura no centro do fio é:

T 0 = 256,2   ° C

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