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Considere o campo de escoamento do Problema 4-94 (escoamento sobre um cilindro circular). Calcule as duas taxas de deformação linear no plano r θ ; ou seja, calcule ε r r e ε θ θ . Discuta se os segmento da reta de fluido se esticam (ou encolhem) nesse campo de escoamento. (Sugestão: O tensor taxa de deformação em coordenadas cilíndricas é dado no Problema 4-88)

Passo 1

Para o campo de velocidade dado temos que calcular a taxa de deformação linear no plano r θ .

Assumindo que o fluxo é constante e que ele opera apenas em duas dimensões no plano r θ .

Neste exercício nós utilizaremos as questões 4-94 e a questão 4-88, estás duas possuem equações essenciais para o desenvolvimento desta aqui.

Coletando a equação da deformação linear da questão 4-88, temos:

ε r r = ∂ u r ∂ r

Agora enunciando a equação da questão 4-94:

u r = V cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2

E

u θ = - V   s e n   θ 1 + a 2 r 2

Passo 2

Agora que enunciamos as equações necessárias, podemos substituir uma na outra e encontrar a deformação linear na coordenada r , e por seguinte θ .

ε r r = ∂ u r ∂ r

Substituindo u r :

ε r r = ∂ ∂ r V cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2

Executando a derivada parcial:

ε r r = ∂ ∂ r V cos ⁡ θ - V cos ⁡ θ a 2 r 2

ε r r = 2 V cos ⁡ θ a 2 r 3

Uma das coordenadas já está resolvida, partindo para coordenada θ .

Passo 3

Temos que a formula para deformação linear na coordenada θ é:

ε θ θ = 1 r ∂ u θ ∂ θ + u r

Substituindo as variáveis:

ε θ θ = 1 r ∂ ∂ θ - V   s e n   θ 1 + a 2 r 2 + V cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2

Executando a derivada:

ε θ θ = 1 r - V   c o s   θ 1 + a 2 r 2 + V cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2

Simplificando:

ε θ θ = - 2 V c o s   θ a 2 r 3

Resposta

ε r r = 2 V cos ⁡ θ a 2 r 3

ε θ θ = - 2 V c o s   θ a 2 r 3

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