Enunciado

Considere dois cilindros horizontais concêntricos de diâmetros 55   c m e 65   c m e 125   c m de comprimento. As superfícies interna e externa dos cilindros são mantidas a 54 ℃ e 106 ℃ , respectivamente. Determine a taxa de transferência de calor por convecção natural entre os cilindros se o espaço anular for preenchido com (a) água e (b) ar.

Passo 1

O diâmetro do cilindro interno: D i = 55   c m = 0,55   m  

O diâmetro do cilindro externo: D o = 65   c m = 0,65   m  

Comprimento dos cilindros: L = 125   c m = 1,25   m

Temperatura da superfície do cilindro interno: T i = 54 ℃

Temperatura da superfície do cilindro externo: T o = 106 ℃

Premissas:

1) Existem condições operacionais estáveis.

2) O ar é um gás ideal com propriedades constantes.

3) A pressão do ar no gabinete é de 1 atm.

4) A transferência de calor por radiação é insignificante.

Passo 2

Podemos fazer o seguinte esquema para demostras o que esta sendo pedido.

Passo 3

a) Queremos determinar a taxa de transferência de calor do cilindro externo para o cilindro interno por convecção natural quando o fluido entre eles é água.

Para isso, podemos começar calculando a temperatura média da seguinte maneira:

T m é d i a = T i + T o 2

T m é d i a = 54 ℃ + 106 ℃ 2

T m é d i a = 80 ℃

Vamos calcular também o comprimento característico. Podemos usar a seguinte relação:

L c = D o - D i 2

L c = 0,65 - 0,55 2 = 0,05   m

Passo 4

Com a temperatura média, podemos obter as propriedades da água que preenche o espaço anular:

Condutividade térmica: k = 0,670   W / m ⋅ K  

Densidade: ρ = 971,8   k g / m 3

Viscosidade dinâmica: μ = 0,355 × 10 - 3   k g / m ⋅ s  

Número Prandtl: P r = 2,22  

Coeficiente de expansão volumétrica: β = 0,653 × 10 - 3   k - 1  

A viscosidade cinemática é dada por:

ν = μ ρ = 0,355 × 10 - 3   k g / m ⋅ s 971,8   k g / m 3 = 3,653 × 10 - 7   m 2 / s

Passo 5

Com os dados obtidos, nós vamos calcular agora o número de Rayleigh usando a seguinte expressão:

R a L = g β T o - T i L c 3 ν 2 ⋅ P r

Aqui,  R a L é o número de Rayleigh, g  é a aceleração devido à gravidade, ν é a viscosidade cinemática e L c é o comprimento característico. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

R a L = 9,81   m / s 2 × 0,653 × 10 - 3   K - 1 × 106 ℃ - 54 ℃ × 0,05   m   3 3,653 × 10 - 7   m 2 / s 2 × 2,22

R a L = 6,927 × 10 8

Vamos calcular também o fator geométrico da seguinte maneira:

F c i l i n d r o = ln ⁡ D o / D i 4 L c 3 D i - 3 / 5 + D o - 3 / 5 5

Aqui, D i e D o são os diâmetros dos cilindros e L c é o comprimento característico. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

F c i l i n d r o = ln ⁡ 0,65   m   / 0,55   m 4 0,05   m 3 0,55   m - 3 / 5 + 0,65   m - 3 / 5 5

F c i l i n d r o = 0,041358

Passo 6

Com os dados obtidos acima, podemos calcular a condutividade térmica efetiva usando a seguinte relação:

k e f = 0,386 k P r 0,861 + P r 1 4 F c i l i n d r o × R a L 1 4

Substituindo os termos da equação pelos dados calculados anteriormente, temos:

k e f = 0,386 × 0,670   W / m ⋅ K × 2,22 0,861 + 2,22 1 4 0,041358 × 6,927 × 10 8 1 4

k e f = 17,43   W / m ⋅ K

Passo 7

Assim, temos que a taxa de transferência de calor entre os cilindros quando o fluido é água é a seguinte:

Q ˙ á g u a = 2 π k e f ln ⁡ D o / D i ⋅ T o - T i

Substituindo os termos da equação pelos dados calculados anteriormente, temos:

Q ˙ á g u a = 2 × π × 17,43   W / m ⋅ K ln ⁡ 0,65   m   / 0,55   m ⋅ 106 ℃ - 54 ℃

Q ˙ á g u a = 34,09 × 10 3   W

Q ˙ á g u a = 34,09   k W

Portanto, a taxa de transferência de calor quando o fluido é água é  34,09   k W .

Passo 8

b) Com a temperatura média de T m é d i a = 80 ℃ , podemos obter as propriedades do ar na pressão de 1   a t m que preenche o espaço anular:

Condutividade térmica: k = 0,02953   W / m ⋅ K  

Viscosidade cinemática: ν = 2,097 × 10 - 5   m 2 / s

Número Prandtl: P r = 0,7154  

O coeficiente de expansão de volume é dado por:

β = 1 T f

Onde T f é a temperatura de filme, que neste caso é a mesma que a temperatura média, em kelvin.

β = 1 353   K = 2,833 × 10 - 3   K - 1

Passo 9

Com os dados obtidos, nós vamos calcular agora o número de Rayleigh usando a seguinte expressão:

R a L = g β T o - T i L c 3 ν 2 ⋅ P r

Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

R a L = 9,81   m / s 2 × 2,833 × 10 - 3   K - 1 × 106 ℃ - 54 ℃ × 0,05   m   3 2,097 × 10 - 5   m 2 / s 2 × 0,7154

R a L = 2,94 × 10 5

Vamos calcular também o fator geométrico da seguinte maneira:

F c i l i n d r o = ln ⁡ D o / D i 4 L c 3 D i - 3 / 5 + D o - 3 / 5 5

Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

F c i l i n d r o = ln ⁡ 0,65   m   / 0,55   m 4 0,05   m 3 0,55   m - 3 / 5 + 0,65   m - 3 / 5 5

F c i l i n d r o = 0,041358

Passo 10

Com os dados obtidos acima, podemos calcular a condutividade térmica efetiva usando a seguinte relação:

k e f = 0,386 k P r 0,861 + P r 1 4 F c i l i n d r o × R a L 1 4

Substituindo os termos da equação pelos dados calculados anteriormente, temos:

k e f = 0,386 × 0,02953   W / m ⋅ K × 0,7154 0,861 + 0,7154 1 4 0,041358 × 2,94 × 10 5 1 4

k e f = 0,09824   W / m ⋅ K

Passo 11

Assim, temos que a taxa de transferência de calor entre os cilindros quando o fluido é ar é a seguinte:

Q ˙ a r = 2 π k e f ln ⁡ D o / D i ⋅ T o - T i

Substituindo os termos da equação pelos dados calculados anteriormente, temos:

Q ˙ a r = 2 × π × 0,09824   W / m ⋅ K ln ⁡ 0,65   m   / 0,55   m ⋅ 106 ℃ - 54 ℃

Q ˙ a r = 192,14   W

Portanto, a taxa de transferência de calor quando o fluido é ar é  192,14   W .

Resposta

a) Q ˙ á g u a = 34,09   k W

b) Q ˙ a r = 192,14   W

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