Enunciado

Considere um escoamento na camada limite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 7 , 5   m / s , porém considerando que a base da placa está de frente para o escoamento. Você esperaria que o arrasto neste caso fosse maior, igual, ou menor do que o arrasto para o Problema 9.44?

Passo 1

O enunciado diz que o escoamento é laminar, e pede para calcularmos a força de arrasto. Como ele é laminar em uma placa plana, valem as relações:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

Ele também dá ums informações importantes:

Velocidade de corrente livre: U = 7   m / s

A forma da placa: x = y 2 / 25

Temos o ar a 20 ° C ,   101,3 k P a , o que implica em ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Só que agora ele quer que a gente considere que o fluxo passa primeiro pela base da placa:

E ele quer saber se a força aumenta ou não quando a gente faz essa mudança.

Vamos ver!

Passo 2

A força total de arrasto pode ser definida como:

F D = ∫ τ w d A

Então precisamos de uma expressão para τ w .

Como a gente encontra isso? Usando as equações da camada limite:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

0,730 ρ U x μ = τ w 1 2 ρ U 2 ∴ τ w = 0,730 μ U ρ x ⋅ 1 2 ρ U 2 = 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2

Uhul! Conseguimos!

Passo 3

Agora, começamos a montar a nossa integral:

F D = ∫ τ w d A

Repara que a nossa largura muda conforme andamos na direção do fluxo, isso é, conforme variamos x . Por isso, podemos escrever:

d A = w ( x ) d x

Como achamos essa largura w ( x ) em função de x ? Temos que:

w 0 = a ,   w L = 0

Onde L é o comprimento percorrido pelo fluído na placa.

A placa tem a forma da parábola: x = y 2 25

O que diz para gente que nossa função para largura tem que ter uma raiz quadrada. Aí usando essas condições acima, podemos dizer que:

w x = a 1 - x L

Reescrevendo:

d A = w x d x ∴ d A = a 1 - x L d x

Sabendo que 0 < x < L :

F D = ∫ 0 L 0,365 μ ρ U 3 x ⋅ a 1 - x L d x = 0,365 a μ ρ U 3 ⋅ ∫ 0 L 1 x - 1 L d x

A resolução essa integral é bem complicada, então a gente pode só deixar indicado e calcular numericamente.

Passo 4

Precisamos substituir os dados do problema, mas quem é L ?

Repara que, para a arrumação inicial da placa, L é o valor de x quando y = 25 / 2 . Logo:

x = y 2 25 = 6,25   c m = 0,0625 m

Sendo a = 0,25   m :

F D = 0,365 ⋅ 0,25 1,81 ⋅ 10 - 5 ⋅ 1,21 ⋅ 7,5 3 ⋅ ∫ 0 0,0625 1 x - 1 0,0625 d x = 3,4 4 ⋅ 10 - 3 N

Isso se a gente pensar na força em um lado só da placa. Pensando na força aplicada em ambos os lados, é só multiplicar por 2 :

2 F D = 6,9 ⋅ 10 - 3 N

Resposta

2 F D = 6,9 ⋅ 10 - 3 N

(força total em ambos os lados)

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